Версия для печати
Убрать все задачи
Отрезок
MN, параллельный стороне
CD
четырехугольника
ABCD, делит его площадь пополам (точки
M
и
N лежат на сторонах
BC и
AD). Длины отрезков,
проведенных из точек
A и
B параллельно
CD до пересечения
с прямыми
BC и
AD, равны
a и
b. Докажите,
что
MN2 = (
ab +
c2)/2, где
c =
CD.
Решение
M – множество точек на плоскости. Точка O называется "почти центром симметрии" множества M, если из M можно выбросить одну точку так, что для оставшегося множества O является центром симметрии в обычном смысле. Сколько "почти центров симметрии" может иметь конечное множество на плоскости?
Решение
Косинус угла между скрещивающимися прямыми
AB и
CD равен
. Точки
E и
F являются серединами
отрезков
AB и
CD соответственно, а прямая
EF перпендикулярна
прямым
AB и
CD . Найдите угол
ACB , если известно, что
AB = 2
,
CD = 2
,
EF = 
.
Решение
В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы каждый телефон был соединён ровно с пятью другими?
Решение
На плоскости даны две прямые и точка M. Найдите на одной из прямых такую точку X, что отрезок MX делится другой прямой пополам.
Решение
На доске размером 8×8 в углу расставлены 9 фишек в форме квадрата 3×3. Любая фишка может прыгать через другую фишку на свободную клетку (по горизонтали, вертикали или диагонали). Можно ли за некоторое количество прыжков расставить фишки в форме такого же квадрата в каком-либо другом углу доски?
Решение
На доске $6\times6$ расставили шесть не угрожающих друг другу ладей. Затем каждое не занятое ладьёй поле покрасили по такому правилу: если ладьи, угрожающие этому полю, находятся от него на одинаковом расстоянии, то это поле закрашивают в красный цвет, а если на разном – то в синий цвет. Могли ли все не занятые поля оказаться
а) красными;
б) синими?
Решение
Все грани призмы
ABCDA₁
B₁
C₁
D₁ касаются некоторого шара. Основанием призмы служит квадрат
ABCD со стороной, равной 5. Угол
C₁
CD ─ острый, а ∠
C₁
CB = arctg ⁵⁄₃. Найдите ∠
C₁
CD, угол между боковым ребром и плоскостью основания призмы, а также расстояние от точки
C до точки касания шара с плоскостью
AA₁
D.
Решение
В классе 30 человек. Может ли быть так, что 9 из них имеют по 3 друга (в этом классе), 11 – по 4 друга, а 10 – по 5 друзей?
Решение
Найти объём правильной четырёхугольной пирамиды, стороны основания
которой
a, а плоские углы при вершине равны углам наклона боковых рёбер к
плоскости основания.
Решение
Фильтр
