Две окружности радиуса R касаются в точке K. На одной из них взята точка A, на другой — точка B, причем AKB = 90^o. Докажите, что AB = 2R.

   Решение

Внутри выпуклого многоугольника расположены две точки.
Докажите, что найдётся четырёхугольник с вершинами в вершинах этого многоугольника, содержащий эти две точки.

   Решение

Среди математиков каждый седьмой — философ, а среди философов каждый девятый — математик. Кого больше: философов или математиков?

   Решение

В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AH$ и $CH$ пересекают стороны $BC$ и $AB$ в точках $A_1$ и $C_1$. Точки $A_2$ и $C_2$ симметричны относительно $AC$ точкам $A_1$ и $C_1$. Докажите, что расстояние между центрами описанных окружностей треугольников $C_2HA_1$ и $C_1HA_2$ равно $AC$.

   Решение

Для каждого многочлена степени 45 с коэффициентами 1, 2, 3, ..., 46 (в каком-то порядке) Вася выписал на доску все его различные действительные корни. Затем он увеличил все числа на доске на 1. Каких чисел на доске оказалось больше: положительных или отрицательных?

   Решение

Окружность, центр которой лежит на гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC, касается двух катетов AC и BC соответственно в точках E и D.
Найдите угол ABC, если известно, что  AE = 1,  BD = 3.

   Решение

Будем называть натуральное число $N$ сильно кубическим, если существует такой приведённый кубический многочлен $f(x)$ с целыми коэффициентами, что $f(f(f(N))) = 0$, а $f(N)$ и $f(f(N))$ не равны 0. Верно ли, что все числа, большие $20^{24}$, сильно кубические?

   Решение

Для тестирования новой программы компьютер выбирает случайное действительное число A из отрезка  [1, 2]  и заставляет программу решать уравнение  3x + A = 0.  Найдите вероятность того, что корень этого уравнения меньше чем –0,4.

   Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 12]      

Для тестирования новой программы компьютер выбирает случайное действительное число A из отрезка  [1, 2]  и заставляет программу решать уравнение  3x + A = 0.  Найдите вероятность того, что корень этого уравнения меньше чем –0,4.

Прислать комментарий

Решение

Коля и Женя договорились встретиться в метро в первом часу дня. Коля приходит на место встречи между полуднем и часом дня, ждёт 10 минут и уходит. Женя поступает точно так же.
  а) Какова вероятность того, что они встретятся?
  б) Как изменится вероятность встречи, если Женя решит прийти раньше половины первого, а Коля по-прежнему – между полуднем и часом?
  в) Как изменится вероятность встречи, если Женя решит прийти в произвольное время с 12.00 до 12.50, а Коля по-прежнему между 12.00 и 13.00?

Прислать комментарий

Решение

Верхняя сторона бумажного квадрата белая, а нижняя – красная. В квадрате случайным образом выбирается точка F. Затем квадрат сгибают так, чтобы одна случайно выбранная вершина наложилась на точку F. Найдите математическое ожидание числа сторон появившегося красного многоугольника.

Прислать комментарий

Решение

Митя собирается согнуть квадратный лист бумаги ABCD. Митя называет сгиб красивым, если сторона AB пересекает сторону CD и четыре получившихся прямоугольных треугольника равны. Перед этим Ваня выбирает на листе случайную точку F. Найдите вероятность того, что Митя сможет сделать красивый сгиб, проходящий через точку F.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC угол A равен 40°. Треугольник случайным образом бросают на стол.
Найдите вероятность того, что вершина A окажется восточнее двух других вершин.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 12]