Каталог по темам

Выбрано 13 задач

Незнайка хвастал своими выдающимися способностями умножать числа "в уме". Чтобы его проверить, Знайка предложил ему написать какое-нибудь число, перемножить его цифры и сказать результат. – "1210", – немедленно выпалил Незнайка. – "Ты неправ!" – сказал, подумав, Знайка. Как он обнаружил ошибку, не зная исходного числа?

Решение

В обыкновенном наборе домино 28 косточек. Сколько косточек содержал бы набор домино, если бы значения, указанные на косточках, изменялись не от 0 до 6, а от 0 до 12?

Решение

На какое максимальное число кусков можно разделить круглый блинчик при помощи трех прямолинейных разрезов?

Решение

Петя купил "Конструктор", в котором было 100 палочек разной длины. В инструкции к "Конструктору" написано, что из любых трёх палочек "Конструктора" можно составить треугольник. Петя решил проверить это утверждение, составляя из палочек треугольники. Палочки лежат в конструкторе по возрастанию длин. Какое наименьшее число проверок (в самом плохом случае) надо сделать Пете, чтобы доказать или опровергнуть утверждение инструкции?

Решение

Найти все такие натуральные числа p, что p и 2p² + 1 – простые.

Решение

Имеются две одинаковых шестеренки по 14 зубьев на общей оси. Их совместили и выбили четыре пары зубьев.
Доказать, что шестеренки можно повернуть так, что они образуют полноценную шестеренку (без дырок).

Решение

Пусть a, b, c – стороны треугольника, p – его полупериметр, а r и R – радиусы вписанной и описанной окружностей соответственно. Составьте уравнение с коэффициентами, зависящими от p, r, R, корнями которого являются числа a, b, c. Докажите равенство

Решение

Найдите значение выражения 1!*3-2!*4+3!*5-4!*6+...-2000!*2002+2001!.

Решение

Встречается ли в треугольнике Паскаля число 1999?

Решение

Автор: Фомин С.В.

Среди десятизначных чисел каких больше: тех, которые можно представить как произведение двух пятизначных чисел, или тех, которые нельзя так представить?

Решение

В наборе –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 замените одно число двумя другими целыми числами так, чтобы дисперсия набора и его среднее не изменились.

Решение

Легко проверить равенства

log $\displaystyle \left(\vphantom{16+\dfrac{16}{15}}\right.$ 16 + $\displaystyle {\textstyle\dfrac{16}{15}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{16+\dfrac{16}{15}}\right)$ = log 16 + log $\displaystyle {\textstyle\dfrac{16}{15}}$ ;

log $\displaystyle \left(\vphantom{\dfrac{64}7-8}\right.$ $\displaystyle {\textstyle\dfrac{64}{7}}$ - 8 $\displaystyle \left.\vphantom{\dfrac{64}7-8}\right)$ = log $\displaystyle {\textstyle\dfrac{64}{7}}$ - log 8.

В каких еще случаях можно выносить логарифм за скобку?

Решение

Прямоугольный параллелепипед размером m×n×k разбит на единичные кубики. Сколько всего образовалось параллелепипедов (включая исходный)?

Решение

Задача 65185

Задача 66350

Задача 108413

Задача 66861

Задача 74200