Версия для печати
Убрать все задачи

---

У трёхгранного угла проведены биссектрисы плоских углов. Доказать, что попарные углы между биссектрисами либо одновременно тупые, либо одновременно прямые, либо одновременно острые.

   Решение

---

В остроугольном треугольнике $ABC$ точки $O$, $I$ – центры описанной и вписанной окружностей, $P$ – произвольная точка на отрезке $OI$, точки $P_A$, $P_B$ и $P_C$ – вторые точки пересечения прямых $PA$, $PB$ и $PC$ с окружностью $ABC$. Докажите. что биссектрисы углов $BP_AC$, $CP_BA$ и $AP_CB$ пересекаются в одной точке, лежащей на прямой $OI$.

   Решение

---

Для данного многочлена P(x) опишем способ, который позволяет построить многочлен R(x), который имеет те же корни, что и P(x), но все кратности 1. Положим  Q(x) = (P(x), P'(x))  и  R(x) = P(x)Q^–1(x).  Докажите, что
  а) все корни многочлена P(x) будут корнями R(x);
  б) многочлен R(x) не имеет кратных корней.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 421]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60468

Темы:   [ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ] [ Арифметическая прогрессия ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Предположим, что нашлись 15 простых чисел, образующих арифметическую прогрессию с разностью d. Докажите, что  d > 30000.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60864

Темы:   [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Показательные функции и логарифмы (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

При каких натуральных a и b число log_ab будет рациональным?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61019

Темы:   [ Производная и кратные корни ] [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Для данного многочлена P(x) опишем способ, который позволяет построить многочлен R(x), который имеет те же корни, что и P(x), но все кратности 1. Положим  Q(x) = (P(x), P'(x))  и  R(x) = P(x)Q^–1(x).  Докажите, что
  а) все корни многочлена P(x) будут корнями R(x);
  б) многочлен R(x) не имеет кратных корней.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61020

Темы:   [ Производная и кратные корни ] [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Постройте многочлен R(x) из задачи 61019, если:
  а)  P(x) = x⁶ – 6x⁴ – 4x³ + 9x² + 12x + 4;
  б)  P(x) = x⁵ + x⁴ – 2x³ – 2x² + x + 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61025

Тема:   [ Производная и кратные корни ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Докажите, что при  n > 0  многочлен  nxⁿ⁺¹ – (n + 1)x ⁿ  + 1  делится на  (x – 1)².

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 421]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями