Семизначный код, состоящий из семи различных цифр, назовем хорошим. Паролем сейфа является хороший код. Известно, что сейф откроется, если введён хороший код и на каком-нибудь месте цифра кода совпала с соответствующей цифрой пароля. Можно ли гарантированно открыть сейф быстрее, чем за семь попыток?

   Решение

Выразите площадь треугольника ABC через длину стороны BC и величины углов B и C.

   Решение

Какое из двух чисел больше:

  а)     (100 двоек) или     (99 троек);

  б)     (100 троек) или     (99 четвёрок).

   Решение

Пусть $f(x)=x^2+3x+2$. Вычислите $$\Bigl(1-\frac{2}{f(1)}\Bigr)\Bigl(1-\frac2{f(2)}\Bigr)\Bigl(1-\frac2{f(3)}\Bigr)\ldots\Bigl(1-\frac2{f(2019)}\Bigr).$$

   Решение

Во вписанном пятиугольнике отметили середины четырех сторон, после чего сам пятиугольник стерли. Восстановите его.

   Решение

M₁, M₂,..., M₆ — середины сторон выпуклого шестиугольника A₁A₂...A₆. Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны и параллельны отрезкам M₁M₂, M₃M₄, M₅M₆.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      

M₁, M₂,..., M₆ — середины сторон выпуклого шестиугольника A₁A₂...A₆. Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны и параллельны отрезкам M₁M₂, M₃M₄, M₅M₆.

Прислать комментарий

Решение

Стороны треугольника T параллельны медианам треугольника T₁. Докажите, что медианы треугольника T параллельны сторонам треугольника T₁.

Прислать комментарий

Решение

Из произвольной внутренней точки O выпуклого n-угольника опущены перпендикуляры на стороны (или их продолжения). На каждом перпендикуляре от точки O по направлению к стороне построен вектор, длина которого равна половине длины той стороны, на которую опущен перпендикуляр. Определить сумму построенных векторов.

Прислать комментарий

Решение

а) Докажите, что из медиан треугольника можно составить треугольник.
б) Из медиан треугольника ABC составлен треугольник A₁B₁C₁, а из медиан треугольника A₁B₁C₁ составлен треугольник A₂B₂C₂. Докажите, что треугольники ABC и A₂B₂C₂ подобны, причем коэффициент подобия равен 3/4.

Прислать комментарий

Решение

Из точки, лежащей внутри выпуклого n-угольника, проведены лучи, перпендикулярные его сторонам и пересекающие стороны (или их продолжения). На этих лучах отложены векторы a₁,...,a_n, длины которых равны длинам соответствующих сторон. Докажите, что a₁ +...+ a_n = 0.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]