Испанский король решил перевесить по-своему портреты своих предшественников в круглой башне замка. Однако он хочет, чтобы за один раз меняли местами только два портрета, висящие рядом, причём это не должны быть портреты двух королей, один из которых царствовал сразу после другого. Кроме того, ему важно лишь взаимное расположение портретов, и два расположения, отличающиеся поворотом круга, он считает одинаковыми. Доказать, что как бы сначала ни висели портреты, король может по этим правилам добиться любого нового их расположения.

   Решение

Внутри отрезка AB взята точка C. По одну сторону от прямой AB построены равнобедренные треугольники ADC и CEB, причём AD = DC = CE = EB. Точка F находится на расстоянии, равном AD, от вершин D и E и не совпадает с точкой C. Докажите, что AF = FB

   Решение

Страница: << 18 19 20 21 22 23 24 >> [Всего задач: 501]      

Внутри отрезка AB взята точка C. По одну сторону от прямой AB построены равнобедренные треугольники ADC и CEB, причём AD = DC = CE = EB. Точка F находится на расстоянии, равном AD, от вершин D и E и не совпадает с точкой C. Докажите, что AF = FB

Прислать комментарий

Решение

Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M, ∠AMB = 60°. На сторонах AD и BC во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники ADK и BCL. Прямая KL пересекает описанную около ABCD окружность в точках P и Q. Докажите, что PK = LQ.

Прислать комментарий

Решение

Многоугольник  A₁A₂...A_2n вписанный. Про все пары его противоположных сторон, кроме одной, известно, что они параллельны. Докажите, что при n нечетном оставшаяся пара сторон тоже параллельна, а при n четном оставшаяся пара сторон равна по длине.

Прислать комментарий

Решение

Окружность S₁ с диаметром AB пересекает окружность S₂ с центром A в точках C и D. Через точку B проведена прямая, пересекающая S₂ в точке M, лежащей внутри S₁, а S₁ в точке N. Докажите, что  MN² = CN ^. ND.

Прислать комментарий

Решение

Дан остроугольный треугольник ABC и точка P, не совпадающая с точкой пересечения его высот. Докажите, что окружности, проходящие через середины сторон треугольников PAB, PAC, PBC и ABC, а также окружность, проходящая через проекции точки P на стороны треугольника ABC, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 18 19 20 21 22 23 24 >> [Всего задач: 501]