Точки A₁,..., A_n лежат на окружности с центром O, причем +...+ = . Докажите, что для любой точки X справедливо неравенство XA₁ +...+ XA_nnR, где R — радиус окружности.

   Решение

Найдите объём правильного тетраэдра с ребром, равным a .

   Решение

В параллелограмме ABCD диагональ AC больше диагонали BD; M — такая точка диагонали AC, что четырехугольник BCDM вписанный. Докажите, что прямая BD является общей касательной к описанным окружностям треугольников ABM и ADM.

   Решение

Найдите кривую наименьшей длины, делящую равносторонний треугольник на две фигуры равной площади.

   Решение

Дано 100 положительных чисел, сумма которых равна S. Известно, что каждое из чисел меньше, чем S/99. Докажите, что сумма любых двух из этих чисел больше, чем S/99.

   Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 13]      

Даны 10 различных положительных чисел. В каком порядке их нужно обозначить a₁, a₂, ... , a₁₀, чтобы сумма a₁+2a₂+3a₃+...+10a₁₀ была наибольшей?

Прислать комментарий

Решение

Можно ли из последовательности 1, 1/2, 1/3, ... выбрать (сохраняя порядок) сто чисел, из которых каждое, начиная с третьего, равно разности двух предыдущих?

Прислать комментарий

Решение

Дано 100 положительных чисел, сумма которых равна S. Известно, что каждое из чисел меньше, чем S/99. Докажите, что сумма любых двух из этих чисел больше, чем S/99.

Прислать комментарий

Решение

Найдите значение выражения 1!*3-2!*4+3!*5-4!*6+...-2000!*2002+2001!.

Прислать комментарий

Решение

Существуют ли такие натуральные числа $m$ и $n$, что $m^2+n$ и $n^2+m$ одновременно являются квадратами?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 13]