На высотах $AA_0$, $BB_0$, $CC_0$ остроугольного неравностороннего треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $A_1, B_1, C_1$ так, что  $AA_1 = BB_1 = CC_1 = R$,  где $R$ – радиус описанной окружности треугольника $ABC$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $A_1B_1C_1$ совпадает с центром вписанной окружности треугольника $ABC$.

   Решение

Точки A, B и C лежат на одной прямой, причём B находится между A и C.
Найдите геометрическое место таких точек M, что радиусы описанных окружностей треугольников AMB и CMB равны.

   Решение

Докажите, что для любого неравнобедренного треугольника   ,   где l₁, l₂ – наибольшая и наименьшая биссектрисы треугольника, S – его площадь.

   Решение

Величины углов при вершинах A, B, C треугольника ABC составляют арифметическую прогрессию с разностью ^π/₇. Биссектрисы этого треугольника пересекаются в точке D. Точки A₁, B₁, C₁ находятся на продолжениях отрезков DA, DB, DC за точки A, B, C соответственно, на одинаковом расстоянии от точки D. Докажите, что величины углов A₁, B₁, C₁ также образуют арифметическую прогрессию. Найдите её разность.

   Решение

Докажите, что  l_a .

   Решение

В треугольнике ABC проведена биссектриса AA', I – точка пересечения биссектрис. Докажите, что  AI > A'I.

   Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 14]      

В треугольнике ABC проведена биссектриса AA', I – точка пересечения биссектрис. Докажите, что  AI > A'I.

Прислать комментарий

Решение

Две стороны треугольника равны 10 и 15. Докажите, что биссектриса угла между ними не больше 12.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что  l_a .

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что для любого неравнобедренного треугольника   ,   где l₁, l₂ – наибольшая и наименьшая биссектрисы треугольника, S – его площадь.

Прислать комментарий

Решение

Биссектриса угла A треугольника ABC продолжена до пересечения в D с описанной вокруг него окружностью. Докажите, что AD > 1/2 (AB + AC).

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 14]