Версия для печати
Убрать все задачи

---

Внутри выпуклого 100-угольника выбрана точка X, не лежащая ни на одной его стороне или диагонали. Исходно вершины многоугольника не отмечены. Петя и Вася по очереди отмечают ещё не отмеченные вершины 100-угольника, причём Петя начинает и первым ходом отмечает сразу две вершины, а далее каждый своим очередным ходом отмечает по одной вершине. Проигрывает тот, после чьего хода точка X будет лежать внутри многоугольника с отмеченными вершинами. Докажите, что Петя может выиграть, как бы ни ходил Вася.

   Решение

---

Докажите, что  1 + 2⁷⁷ + 3⁷⁷ + ... + 1996⁷⁷  делится на 1997.

   Решение

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 330]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 32062

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 2 Классы: 7,8,9

В компании из k человек (k > 3) у каждого появилась новость, известная ему одному. За один телефонный разговор двое сообщают друг другу все известные им новости. Докажите, что за 2k – 4 разговора все они могут узнать все новости.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 88147

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Арифметика. Устный счет и т.п. ]

Сложность: 2 Классы: 5,6,7

Попробуйте быстро найти сумму всех цифр в этой таблице:

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 103837

Темы:   [ Арифметические действия. Числовые тождества ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 2 Классы: 6,7,8

Укажите пять целых положительных чисел, сумма которых равна 20, а произведение — 420.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 21991

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 2+ Классы: 6,7,8

Сто человек сидят за круглым столом, причём более половины из них – мужчины. Докажите, что какие-то два мужчины сидят друг напротив друга.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 32989

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9

Докажите, что  1 + 2⁷⁷ + 3⁷⁷ + ... + 1996⁷⁷  делится на 1997.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 330]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями