Версия для печати
Убрать все задачи

---

Некоторые из чисел 1, 2, 3, ..., $n$ покрашены в красный цвет так, что выполняется условие: если для красных чисел $a, b, c$ (не обязательно различных)  $a(b - c)$  делится на $n$, то  $b = c$.
Докажите, что красных чисел не больше чем φ($n$).

   Решение

---

После обеда на прозрачной квадратной скатерти остались тёмные пятна общей площади S. Оказалось, что если сложить скатерть пополам вдоль любой из двух линий, соединяющих середины противоположных её сторон, или же вдоль одной из двух её диагоналей, то общая видимая площадь пятен будет равна S₁. Если же сложить скатерть пополам вдоль другой её диагонали, то общая видимая площадь пятен останется равна S. Какое наименьшее значение может принимать величина  S₁ : S?

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 42]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116705

Темы:   [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Формула включения-исключения ] [ Композиции симметрий ] [ Доказательство от противного ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4 Классы: 11

После обеда на прозрачной квадратной скатерти остались тёмные пятна общей площади S. Оказалось, что если сложить скатерть пополам вдоль любой из двух линий, соединяющих середины противоположных её сторон, или же вдоль одной из двух её диагоналей, то общая видимая площадь пятен будет равна S₁. Если же сложить скатерть пополам вдоль другой её диагонали, то общая видимая площадь пятен останется равна S. Какое наименьшее значение может принимать величина  S₁ : S?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115450

Темы:   [ Арифметика. Устный счет и т.п. ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ] [ Формула включения-исключения ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9,10

Из ряда натуральных чисел вычеркнули все числа, которые являются квадратами или кубами целых чисел.
Какое из оставшихся чисел стоит на сотом месте?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65592

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Обыкновенные дроби ] [ Формула включения-исключения ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Сколько существует несократимых дробей с числителем 2015, меньших чем ¹/₂₀₁₅ и больших чем ¹/₂₀₁₆?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66840

Темы:   [ Функция Эйлера ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Формула включения-исключения ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Некоторые из чисел 1, 2, 3, ..., $n$ покрашены в красный цвет так, что выполняется условие: если для красных чисел $a, b, c$ (не обязательно различных)  $a(b - c)$  делится на $n$, то  $b = c$.
Докажите, что красных чисел не больше чем φ($n$).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57818

Темы:   [ Перенос помогает решить задачу ] [ Неравенства с площадями ] [ Формула включения-исключения ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 7 Классы: 9,10,11

В квадрате со стороной 1 расположена фигура, расстояние между любыми двумя точками которой не равно 0, 001. Докажите, что площадь этой фигуры не превосходит: а) 0, 34; б) 0, 287.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 42]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями