Версия для печати
Убрать все задачи

---

На плоскости отмечено несколько точек, каждая покрашена в синий, желтый или зеленый цвет. На любом отрезке, соединяющем одноцветные точки, нет точек этого же цвета, но есть хотя бы одна другого цвета. Каково максимально возможное число всех точек?

   Решение

---

На отрезке AE по одну сторону от него построены равносторонние треугольники ABC и CDE; M и P — середины отрезков AD и BE. Докажите, что треугольник CPM равносторонний.

   Решение

---

Докажите, что если перпендикуляры, опущенные из точек A₁, B₁ и C₁ на прямые BC, AC и AB соответственно, пересекаются в одной точке, то и перпендикуляры, опущенные из точек A, B и C на прямые соответственно B₁C₁, A₁C₁ и A₁B₁, также пересекаются в одной точке.

   Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 15]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 57169  [Теорема Карно]

Темы:   [ Теорема Карно ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ]

Сложность: 4- Классы: 9

Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек A₁, B₁, C₁ на стороны BC, CA, AB треугольника ABC, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда A₁B² + C₁A² + B₁C² = B₁A² + A₁C² + C₁B² (теорема Карно).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115905

Темы:   [ Теорема Карно ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Дан треугольник ABC. Из точек A₁, B₁ и C₁, лежащих на прямых BC, AC и AB соответственно, восставлены перпендикуляры к этим прямым.
Докажите, что эти перпендикуляры пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда  C₁A² – C₁B² + A₁B² – A₁C² + B₁C² – B₁A² = 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115906

Темы:   [ Теорема Карно ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Вневписанные окружности ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Вневписанные окружности треугольника ABC касаются сторон BC, AC и AB в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно.
Докажите, что перпендикуляры, восставленные к этим сторонам в точках соответственно A₁, B₁ и C₁, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115908

Темы:   [ Теорема Карно ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Дан правильный треугольник ABC и произвольная точка D. Точки A₁, B₁ и C₁ – центры окружностей, вписанных в треугольники BCD, CAD и ABD соответственно. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин A, B и C на прямые соответственно B₁C₁, A₁C₁ и A₁B₁, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115907

Темы:   [ Теорема Карно ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Докажите, что если перпендикуляры, опущенные из точек A₁, B₁ и C₁ на прямые BC, AC и AB соответственно, пересекаются в одной точке, то и перпендикуляры, опущенные из точек A, B и C на прямые соответственно B₁C₁, A₁C₁ и A₁B₁, также пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 15]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями