Найдите объём прямой призмы, основанием которой служит прямоугольный треугольник с острым углом α , если боковое ребро призмы равно l и образует с диагональю большей боковой грани угол β .

   Решение

Докажите, что для любых целых чисел p и q  (q ≠ 0),  справедливо неравенство  

   Решение

При каких n можно оклеить в один слой поверхность клетчатого куба n×n×n бумажными прямоугольниками 1×2 так, чтобы каждый прямоугольник граничил по отрезкам сторон ровно с пятью другими?

   Решение

Экспонентой y = e^x называется такая функция, для которой выполнены условия y'(x) = y(x) и y(0) = 1. Какая последовательность {a_n} будет обладать аналогичными свойствами, если производную заменить на разностный оператор ?

   Решение

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 1. На продолжении ребра AD за точку D выбрана точка M так, что AM = 2 . Точка E – середина ребра A1B1 , точка F – середина ребра DD1 . Какое наибольшее значение может принимать отношение , где точка P лежит на отрезке AE , а точка Q – на отрезке СF ?

   Решение

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 11]      

Все рёбра правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 равны 4. На ребре EE1 взята точка K так, что E1K= , а на ребре FF1 – точка L так, что F1L= . Найдите наименьшее возможное значение суммы AP+PQ , где точка P принадлежит отрезку B1F1 , а точка Q – отрезку KL .

Прислать комментарий

Решение

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 1. На продолжении ребра AD за точку D выбрана точка M так, что AM = 2 . Точка E – середина ребра A1B1 , точка F – середина ребра DD1 . Какое наибольшее значение может принимать отношение , где точка P лежит на отрезке AE , а точка Q – на отрезке СF ?

Прислать комментарий

Решение

В тетраэдре ABCD из вершины A опустили перпендикуляры AB' , AC' , AD' на плоскости, делящие двугранные углы при ребрах CD , BD , BC пополам. Докажите, что плоскость (B'C'D') параллельна плоскости (BCD) .

Прислать комментарий

Решение

Дана треугольная пирамида ABCD . Сфера S₁ , проходящая через точки A , B , C , пересекает ребра AD , BD , CD в точках K , L , M соответственно; сфера S₂ , проходящая через точки A , B , D , пересекает ребра AC , BC , DC в точках P , Q , M соответственно. Оказалось, что KL|| PQ . Докажите, что биссектрисы плоских углов KMQ и LMP совпадают.

Прислать комментарий

Решение

Предлагается построить N точек на плоскости так, чтобы все расстояния между ними равнялись заранее заданным числам: для любых двух точек M_i и M_j, где i и j — любые числа от 1 до N.

Можно ли провести построение, если расстояния r_ij заданы так, что всякие 5 из N точек построить можно?

б) Достаточно ли требовать, чтобы можно было построить всякие 4 из N точек?

в) Что изменится, если строить точки не на плоскости, а в пространстве? Каково тогда наименьшее k, для которого возможность построения любых k из данных N точек обеспечивает возможность построения и всех N> точек?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 11]