У Полины есть колода из 36 карт (4 масти по 9 карт в каждой). Она выбирает из неё половину карт, какие хочет, и отдает Василисе, а вторую половину оставляет себе. Далее каждым ходом игроки по очереди открывают по одной карте по своему выбору (соперник видит масть и достоинство открытой карты), начиная с Полины. Если в ответ на ход Полины Василиса смогла положить карту той же масти или того же достоинства, то Василиса зарабатывает одно очко. Какое наибольшее количество очков Василиса может гарантированно заработать?

   Решение

Сфера радиуса касается плоскостей всех боковых граней некоторой пирамиды в точках, лежащих на сторонах основания. Найдите высоту пирамиды, если её основанием служит треугольник со сторонами 5, 6 и 9.

   Решение

Даны два одинаково ориентированных квадрата $A_1A_2A_3A_4$ и $B_1B_2B_3B_4$. Серединные перпендикуляры к отрезкам $A_1B_1$, $A_2B_2$, $A_3B_3$, $A_4B_4$ пересекают серединные перпендикуляры к отрезкам $A_2B_2$, $A_3B_3$, $A_4B_4$, $A_1B_1$ в точках $P$, $Q$, $R$, $S$ соответственно. Докажите, что $PR\perp QS$.

   Решение

На рёбрах AA1 и CC1 куба ABCDA1B1C1D1 отмечены соответственно точки E и F , причём AE = 2A1E , CF =2C1F . Через точки B , E и F проведена плоскость, делящая куб на две части. Найдите отношение объёма части, содержащей точку B1 , к объёму всего куба.

   Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 70]      

В правильной четырёхугольной пирамиде с боковым ребром, равным 20, угол между боковыми рёбрами, лежащими в одной грани, равен . Через точку, лежащую на одном из боковых рёбер, проведена прямая, перпендикулярная этому ребру и пересекающая высоту пирамиды. Найдите длину отрезка этой прямой, лежащего внутри пирамиды, если точка пересечения этой прямой с высотой делит высоту на две части в отношении 3:7, считая от вершины.

Прислать комментарий

Решение

В правильной четырёхугольной пирамиде, сторона основания которой равна 6, а угол между боковыми рёбрами, лежащими в одной грани, равен , проведено сечение, перпендикулярное боковому ребру и делящее высоту в отношении 1:2, считая от вершины. Найдите периметр сечения.

Прислать комментарий

Решение

В правильной четырёхугольной пирамиде угол между боковыми рёбрами, лежащими в одной грани, равен . Через точку, лежащую на одном из боковых рёбер, проведена прямая, перпендикулярная этому ребру и пересекающая высоту в середине. Известно, что длина отрезка этой прямой, лежащего внутри пирамиды, равна 6. Найдите боковое ребро пирамиды.

Прислать комментарий

Решение

На рёбрах AA1 и CC1 куба ABCDA1B1C1D1 отмечены соответственно точки E и F , причём AE = 2A1E , CF =2C1F . Через точки B , E и F проведена плоскость, делящая куб на две части. Найдите отношение объёма части, содержащей точку B1 , к объёму всего куба.

Прислать комментарий

Решение

Куб ABCDA1B1C1D1 рассечен на две части плоскостью, проходящей через вершину B , середину ребра B1C1 и точку M , лежащую на ребре AA1 так, что AM = 2A1M . Найдите отношение объёма части, содержащей точку B1 , к объёму всего куба.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 70]