Существуют ли арифметическая прогрессия, состоящая лишь из простых чисел?

   Решение

Даны пять чисел; сумма любых трёх из них чётна. Доказать, что все числа чётны.

   Решение

На доске в лаборатории написаны два числа. Каждый день старший научный сотрудник Петя стирает с доски оба числа и пишет вместо них их среднее арифметическое и среднее гармоническое. Утром первого дня на доске были написаны числа 1 и 2. Найдите произведение чисел, записанных на доске вечером 1999-го дня.

   Решение

Дана правильная треугольная пирамида PABC ( P – вершина) со стороной основания a и боковым ребром b ( b > a ). Сфера лежит над плоскостью основания ABC , касается этой плоскости в точке A и, кроме того, касается бокового ребра PB . Найдите радиус сферы.

   Решение

Дима, приехав из Врунляндии, рассказал, что там есть несколько озер, соединённых между собой реками. Из каждого озера вытекают три реки, и в каждое озеро впадают четыре реки. Докажите, что он ошибается.

   Решение

На берегу круглого озера растут 6 сосен. Известно, что если взять такие два треугольника, что вершины одного совпадают с тремя из сосен, а вершины другого – с тремя другими, то в середине отрезка, соединяющего точки пересечения высот этих треугольников, на дне озера находится клад. Неизвестно только, как нужно разбить данные шесть точек на две тройки. Сколько раз придётся опуститься на дно озера, чтобы наверняка отыскать клад?

   Решение

Две окружности пересекаются в точках A и B. Точка X лежит на прямой AB, но не на отрезке AB. Докажите, что длины всех касательных, проведенных из точки X к окружностям, равны.

   Решение

В классе больше 32, но меньше 40 человек. Каждый мальчик дружит с тремя девочками, а каждая девочка – с пятью мальчиками.
Сколько человек в классе?

   Решение

Чему равно выражение (10²+11²+12²+13²+14²)/365 ?

   Решение

Окружность радиуса 3 проходит через середины трёх сторон треугольника ABC, в котором углы при вершинах A и B равны 60^o и 45^o соответственно. Найдите площадь треугольника.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 20]      

Окружность радиуса 3 проходит через середины трёх сторон треугольника ABC, в котором углы при вершинах A и B равны 60^o и 45^o соответственно. Найдите площадь треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Пусть a, b, c – длины сторон произвольного треугольника; p – полупериметр; r – радиус вписанной окружности. Докажите неравенство

Прислать комментарий

Решение

Сумма сторон AB и BC треугольника ABC равна 11,  угол B равен 60°, радиус вписанной окружности равен  .  Известно также, что сторона AB больше стороны BC. Найдите высоту треугольника, опущенную из вершины A.

Прислать комментарий

Решение

Пусть a, b, c – стороны треугольника, p – его полупериметр, а r и R – радиусы вписанной и описанной окружностей соответственно. Составьте уравнение с коэффициентами, зависящими от p, r, R, корнями которого являются числа a, b, c. Докажите равенство

Прислать комментарий

Решение

Длины сторон треугольника ABC не превышают 1.
Докажите, что  p(1 – 2Rr) ≥ 1,  где p – полупериметр, R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 20]