В основании прямоугольного параллелепипеда лежит квадрат со стороной 2 . Диагональ боковой грани образует с плоскостью соседней боковой грани угол 30^o . Найдите объём параллелепипеда.

   Решение

Пусть характеристическое уравнение ( 11.3) последовательности {a_n} имеет два различных корня x₁ и x₂. Докажите, что при фиксированных a₀, a₁ существует ровно одна пара чисел c₁, c₂ такая, что

   Решение

Дано 25 чисел. Какие бы три из них мы ни выбрали, среди оставшихся найдётся такое четвёртое, что сумма этих четырёх чисел будет положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?

   Решение

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 13]      

На каждой из двенадцати диагоналей граней куба выбирается произвольная точка. Определяется центр тяжести этих двенадцати точек.
Найдите геометрическое место всех таких центров тяжести.

Прислать комментарий

Решение

Даны окружность O, точка A, лежащая на ней, перпендикуляр к плоскости окружности O, восставленный из точки A, и точка B, лежащая на этом перпендикуляре. Найдите геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из точки A на прямые, проходящие через точку B и произвольную точку окружности O.

Прислать комментарий

Решение

В тетраэдр ABCD вписана сфера с центром O, касающаяся его граней BCD, ACD, ABD и ABC в точках A₁, B₁, C₁ и D₁ соответственно.
  а) Пусть P_a – такая точка, что точки, симметричные ей относительно прямых OB, OC и OD, лежат в плоскости BCD. Точки P_b, P_c и P_d определяются аналогично. Докажите, что прямые A₁P_a, B₁P_b, C₁P_c и D₁P_d пересекаются в некоторой точке P.
  б) Пусть I – центр сферы, вписанной в тетраэдр A₁B₁C₁D₁;  A₂ – точка пересечения прямой A₁I с плоскостью B₁C₁D₁;  B₂, C₂, D₂ определены аналогично. Докажите, что P лежит внутри тетраэдра A₂B₂C₂D₂.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 13]