Версия для печати
Убрать все задачи

---

Играют двое. В начале игры есть одна палочка. Первый игрок ломает эту палочку на две части. И так игроки по очереди ломают на две части любую палочку из имеющихся к данному моменту. Если, сломав палочку, игрок может сложить из всех имеющихся палочек один или несколько отдельных треугольников (каждый – ровно из трёх палочек), то он выиграл. Кто из игроков (первый или второй) может обеспечить себе победу независимо от действий другого игрока?

   Решение

---

В одной из вершин шестиугольника лежит золотая монета, а в остальных ничего не лежит. Кощей Бессмертный чахнет над златом и каждое утро снимает с одной вершины произвольное количество монет, после чего тут же кладёт на соседнюю вершину в шесть раз больше монет. Если к исходу какого-то дня во всех вершинах будет поровну монет, Кощей станет Властелином Мира. Докажите, что хоть злата у него сколько угодно, но Властелином Мира ему не бывать.

   Решение

---

Теорема косинусов для трёхгранного угла. Пусть α , β , γ – плоские углы трёхгранного угла SABC с вершиной S , противолежащие рёбрам SA , SB , SC соответственно; A , B , C – двугранные углы при этих рёбрах. Докажите, что

cos A = , cos B = , cos C = .

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 153]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 97886

Темы:   [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Четырехугольник (неравенства) ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Дан выпуклый четырёхугольник и точка M внутри него. Доказать, что сумма расстояний от точки M до вершин четырёхугольника меньше суммы попарных расстояний между вершинами четырёхугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116228

Темы:   [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Средняя линия треугольника ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

В равнобедренном треугольнике ABC на основании BC взята точка D, а на боковой стороне AB – точки E и M так, что  AM = ME  и отрезок DM параллелен стороне AC. Докажите, что  AD + DE > AB + BE.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 32032

Темы:   [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

На плоскости имеется 1983 точки и окружность единичного радиуса.
Доказать, что на окружности найдётся точка, сумма расстояний от которой до данных точек не меньше 1983.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35292

Темы:   [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Даны 12 палочек одинаковой длины. Как разрезать их на более мелкие палочки, чтобы из них можно было составить 13 равных треугольников, причём каждая из мелких палочек являлась бы стороной одного из этих треугольников?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35459

Темы:   [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Существует ли точка, удалённая от вершин некоторого квадрата на расстояния 1, 5, 7, 8?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 153]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями