а) Сумма длин рёбер любого выпуклого многогранника больше утроенного диаметра. Докажите это. (Диаметром многогранника называют наибольшую из длин всевозможных отрезков с концами в вершинах многогранника.)

б) Для любых двух вершин A и B любого выпуклого многогранника существуют три ломаные, каждая из которых идёт по рёбрам многогранника из А в В и никакие две не проходят по одному ребру. Докажите это.

в) Если в выпуклом многограннике разрезать два ребра, то для любых двух его вершин А и В существует соединяющая эти две вершины ломаная, идущая по оставшимся рёбрам. Докажите это.

г) Докажите, что в задаче б) можно выбрать три ломаные, никакие две из которых не имеют общих вершин, за исключением точек А и В.

   Решение

В треугольной пирамиде SABC боковое ребро SC равно ребру AB и наклонено к плоскости основания ABC под углом 60^o . Известно, что вершины A , B , C и середины боковых рёбер пирамиды расположены на сфере радиуса 1. Докажите, что центр этой сферы лежит на ребре AB , и найдите высоту пирамиды.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 79]      

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, H — точка пересечения высот. Докажите, что a² + b² + c² = 9R² - OH².

Прислать комментарий

Решение

Хорды AA₁, BB₁ и CC₁ окружности с центром O пересекаются в точке X. Докажите, что (AX/XA₁) + (BX/XB₁) + (CX/XC₁) = 3 тогда и только тогда, когда точка X лежит на окружности с диаметром OM, где M — центр масс треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Центрально симметричная фигура на клетчатой бумаге состоит из n "уголков" и k прямоугольников размером 1×4, изображенных на рис. Докажите, что n четно.

Прислать комментарий

Решение

Найдите барицентрические координаты а) центра описанной окружности; б) центра вписанной окружности; в) ортоцентра треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Относительно треугольника ABC точка X имеет абсолютные барицентрические координаты ( : : ). Докажите, что = + .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 79]