Версия для печати
Убрать все задачи

---

Фокусник выкладывает 36 карт в виде квадрата 6×6 (в 6 столбцов по 6 карт) и просит Зрителя мысленно выбрать карту и запомнить столбец, её содержащий. После этого Фокусник определённым образом собирает карты, снова выкладывает в виде квадрата 6×6 и просит Зрителя назвать номера столбцов, содержащих выбранную карту в первый и второй раз. После ответа Зрителя Фокусник безошибочно отгадывает карту. Как действовать Фокуснику, чтобы фокус гарантированно удался?

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64761  (#9.1)

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Четность и нечетность ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

По кругу расставлены 99 натуральных чисел. Известно, что каждые два соседних числа отличаются или на 1, или на 2, или в два раза.
Докажите, что хотя бы одно из этих чисел делится на 3.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64618  (#9.1)

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Даны 111 различных натуральных чисел, не превосходящих 500.
Могло ли оказаться, что для каждого из этих чисел его последняя цифра совпадает с последней цифрой суммы всех остальных чисел?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64626  (#10.1)

Темы:   [ Средние величины ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Ученик за одну неделю получил 17 оценок (каждая из них – 2, 3, 4 или 5). Среднее арифметическое этих 17 оценок – целое число.
Докажите, что какую-то оценку он получил не более двух раз.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64634  (#11.1)

Темы:   [ Многоугольники (прочее) ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Дан выпуклый семиугольник. Выбираются четыре произвольных его угла и вычисляются их синусы, от остальных трёх углов вычисляются косинусы. Оказалось, что сумма таких семи чисел не зависит от изначального выбора четырёх углов. Докажите, что у этого семиугольника найдутся четыре равных угла.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64769  (#10.1)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Назовём натуральное число хорошим, если среди его делителей есть ровно два простых числа.
Могут ли 18 подряд идущих натуральных чисел быть хорошими?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями