Задача 64626

Темы:    [ Средние величины ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Авторы: Агаханов Н.Х., Богданов И.И.

Ученик за одну неделю получил 17 оценок (каждая из них – 2, 3, 4 или 5). Среднее арифметическое этих 17 оценок – целое число.
Докажите, что какую-то оценку он получил не более двух раз.

Решение

Допустим противное. Тогда каждую из оценок 2, 3, 4, 5 ученик получил не меньше трёх раз. Возьмём по три оценки каждого вида; сумма 12 взятых оценок равна 42. Так как каждая из оставшихся пяти оценок не меньше 2 и не больше 5, сумма всех 17 оценок не меньше  42 + 5·2 = 52  и не больше
42 + 5·5 = 67.  Но ни одно из чисел от 52 до 67 не делится на 17. Значит, среднее арифметическое всех оценок – нецелое. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2013-2014
этап
	1
Вариант	4
класс
Класс	10
задача
Номер	10.1