Страница: << 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 29]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116248  (#6)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Радикальная ось ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Пусть I – центр вписанной окружности неравнобедренного треугольника ABC. Через A₁ обозначим середину дуги BC описанной окружности треугольника ABC, не содержащей точки A, а через A₂ – середину дуги BAC. Перпендикуляр, опущенный из точки A₁ на прямую A₂I, пересекает прямую BC в точке A'. Аналогично определяются точки B' и C'.
  а) Докажите, что точки A', B' и C' лежат на одной прямой.
  б) Докажите, что эта прямая перпендикулярна прямой OI, где O – центр описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 32896  (#6)

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Индукция (прочее) ] [ Кооперативные алгоритмы ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9,10

Сто мудрецов хотят проехать на электричке из 12 вагонов от первой до 76-й станции. Они знают, что на первой станции в два вагона электрички сядут два контролёра. После четвёртой станции на каждом перегоне один из контролёров будет переходить в соседний вагон, причём они "ходят" по очереди. Мудрец видит контролёра, только если он в соседнем вагоне или через вагон. На каждой станции каждый мудрец может перебежать по платформе не далее чем на три вагона (например, из 7-го вагона мудрец может добежать до любого вагона с номером от 4 до 10 и сесть в него). Какое максимальное число мудрецов сможет ни разу не оказаться в одном вагоне с контролёром, как бы контролёры ни перемещались? (Никакой информации о контролёрах, кроме указанной в задаче, мудрец не получает. Мудрецы договариваются о стратегии заранее.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 32890  (#6)

Темы:   [ Выигрышные и проигрышные позиции ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

На доске записано целое положительное число N. Два игрока ходят по очереди. За ход разрешается либо заменить число на доске на один из его делителей (отличных от единицы и самого числа), либо уменьшить число на единицу (если при этом число остается положительным). Тот, кто не может сделать ход, проигрывает. При каких N первый игрок может выиграть, как бы ни играл соперник?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116252  (#6)

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Доказательство от противного ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Арифметическая прогрессия ] [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 5- Классы: 8,9

Две команды шахматистов одинаковой численности сыграли матч: каждый сыграл по одному разу с каждым из другой команды. В каждой партии давали 1 очко за победу, ½ – за ничью и 0 – за поражение. В итоге команды набрали поровну очков. Докажите, что какие-то два участника матча тоже набрали поровну очков, если в обеих командах было:
  а) по 5 шахматистов;
  б) произвольное равное число шахматистов.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 29]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями