ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



Задача 109823  (#05.5.10.1)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Алгоритм Евклида ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Найдите наименьшее натуральное число, не представимое в виде   ,   где a, b, c, d – натуральные числа.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109824  (#05.5.10.2)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В таблице 2×n расставлены положительные числа так, что в каждом из n столбцов сумма двух чисел равна 1.
Докажите, что можно вычеркнуть по одному числу в каждом столбце так, чтобы в каждой строке сумма оставшихся чисел не превосходила  n+1/4.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109825  (#05.5.10.3)

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Процессы и операции ]
[ Оценка + пример ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11

На оборотных сторонах 2005 карточек написаны различные числа (на каждой по одному). За один вопрос разрешается указать на любые три карточки и узнать множество чисел, написанных на них. За какое наименьшее число вопросов можно узнать, какие числа записаны на каждой карточке?
Прислать комментарий     Решение


Задача 109826  (#05.5.10.4)

Темы:   [ Вневписанные окружности ]
[ Радикальная ось ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Периметр треугольника ]
[ Окружность, вписанная в угол ]
[ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Окружности σB, σC – вневписанные для треугольника ABC (касаются соответственно сторон AC и AB и продолжений двух других сторон). Окружность ωB симметрична σB относительно середины стороны AC, окружность ωC симметрична σC относительно середины стороны AB. Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения окружностей ωB и ωC, делит периметр треугольника ABC пополам.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109827  (#05.5.10.5)

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10

В некоторые 16 клеток доски 8×8 поставили по ладье. Какое наименьшее количество пар бьющих друг друга ладей могло при этом оказаться?

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .