Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]

Задача 79436

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
Темы:	[	Общая касательная к двум окружностям	]

Сложность: 3+
Классы: 10

Три окружности радиусов 3, 4, 5 внешне касаются друг друга. Через точку касания окружностей радиусов 3 и 4 проведена их общая касательная. Найти длину отрезка этой касательной, заключённой внутри окружности радиуса 5.

Прислать комментарий Решение

Задача 79437

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Разложение на множители	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Доказать, что 1¹⁹⁸³ + 2¹⁹⁸³ + ... + 1983¹⁹⁸³ делится на 1 + ... + 1983.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79443

Темы:	[	Подсчет двумя способами	]
Темы:	[	Простые числа и их свойства	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

За круглым столом сидят 13 богатырей из k городов, где 1 < k < 13. Каждый богатырь держит в руке золотой или серебряный кубок, причём золотых кубков тоже k. Князь повелел каждому богатырю передать свой кубок соседу справа и повторять это до тех пор, пока какие-нибудь два богатыря из одного города оба не получат золотые кубки. Доказать, что желание князя всегда будет исполнено.

Прислать комментарий

Решение

Задача 55544

Темы:	[	Теорема синусов	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Дранишников А.Н.

Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB, BC и AC в точках C₁, A₁ и B₁ соответственно. Известно, что AA₁ = BB₁ = CC₁. Докажите, что треугольник ABC — правильный.

Прислать комментарий Решение

Задача 79429

Темы:	[	Пятиугольники	]
	[	Вписанные и описанные многоугольники	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Существует ли пятиугольник со сторонами 3, 4, 9, 11 и 13 см, в который можно вписать окружность?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]