Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 39]

Задача 78666

Темы:	[	Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Теория групп (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Можно ли разбить все целые неотрицательные числа на 1968 непустых классов так, чтобы в каждом классе было хотя бы одно число и выполнялось бы следующее условие: если число m получается из числа n вычёркиванием двух рядом стоящих цифр или одинаковых групп цифр, то и m, и n принадлежат одному классу (например, числа 7, 9339337, 93223393447, 932239447 принадлежат одному классу)?

Прислать комментарий

Решение

Задача 78664

Темы:	[	Процессы и операции	]
Темы:	[	Задачи на движение	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Из пункта A одновременно вылетают 100 самолетов (флагманский и 99 дополнительных). С полным баком горючего самолет может пролететь 1000 км. В полёте самолеты могут передавать друг другу горючее. Самолет, отдавший горючее другим, совершает планирующую посадку. Каким образом надо совершать перелёт, чтобы флагман пролетел возможно дальше?

Прислать комментарий

Решение

Задача 78671

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Два маляра красят забор, огораживающий дачные участки. Они приходят через день и красят по одному участку (участков 100 штук) в красный или зелёный цвет. Первый маляр дальтоник и путает цвета, он помнит, что и в какой цвет он сам покрасил, и видит, что покрасил второй маляр, но не знает, в какой цвет. Первый маляр добивается того, чтобы в наибольшем числе мест зелёный участок граничил с красным. Какого наибольшего числа переходов он может добиться (как бы ни действовал второй маляр)?

Замечание. Считается, что дачные участки расположены в одну линию.

Прислать комментарий Решение

Задача 78682

Темы:	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Разложение на множители	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Известно, что aⁿ – bⁿ делится на n (a, b, n – натуральные числа, a ≠ b). Доказать, что делится на n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78683

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Десятичная система счисления	]
	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Дано натуральное число N. С ним производится следующая операция: каждая цифра этого числа заносится на отдельную карточку (при этом разрешается добавлять или выбрасывать любое число карточек, на которых написана цифра 0), и затем эти карточки разбивают на две кучи. В каждой из них карточки располагаются в произвольном порядке, и полученные два числа складываются. С полученным числом N₁ проделывается такая же операция, и т.д. Докажите, что за 15 шагов из N можно получить однозначное число.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 39]