Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 30]

Задача 78283

Тема:

[

Примеры и контрпримеры. Конструкции

]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Доказать, что в прямоугольнике площади 1 можно расположить непересекающиеся круги так, чтобы сумма их радиусов была равна 1962.

Прислать комментарий Решение

Задача 78296

Темы:	[	Признаки и свойства касательной	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Две окружности O₁ и O₂ пересекаются в точках M и P. Обозначим через MA хорду окружности O₁, касающуюся окружности O₂ в точке M, а через MB — хорду окружности O₂, касающуюся окружности O₁ в точке M. На прямой MP отложен отрезок PH = MP. Доказать, что четырёхугольник MAHB можно вписать в окружность.

Прислать комментарий Решение

Задача 78302

Темы:	[	Площадь и ортогональная проекция	]
	[	Площадь и объем (задачи на экстремум)	]
	[	Прямоугольные параллелепипеды	]

Сложность: 4+
Классы: 11

Как надо расположить в пространстве прямоугольный параллелепипед, чтобы площадь его проекции на горизонтальную плоскость была наибольшей?

Прислать комментарий Решение

Задача 78291

Темы:	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Круг, сектор, сегмент и проч.	]
	[	Системы точек	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

На плоскости даны 25 точек; известно, что из любых трёх точек можно выбрать две, расстояние между которыми меньше 1. Доказать, что среди данных точек найдутся 13, лежащие в круге радиуса 1.

Прислать комментарий Решение

Задача 78300

Темы:	[	Последовательности (прочее)	]
Темы:	[	Процессы и операции	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Даны 2ⁿ конечных последовательностей из нулей и единиц, причём ни одна из них не является началом никакой другой. Доказать, что сумма длин этих последовательностей не меньше n^.2ⁿ.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 30]