ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выпуски:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 48]      



Задача 73686  (#М151)

Темы:   [ Отношения площадей (прочее) ]
[ Средняя линия трапеции ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
Сложность: 5+
Классы: 8,9

Автор: Ивлев Б.М.

Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырёхугольника, площади которых относятся как 2 : 3. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.
Прислать комментарий     Решение


Задача 73687  (#М152)

Темы:   [ Деление с остатком ]
[ Разложение на множители ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Пусть a, b, m, n – натуральные числа, причём числа a и b взаимно просты и  a > 1.
Докажите, что если  am + bm  делится на  an + bn,  то m делится на n.

Прислать комментарий     Решение

Задача 73688  (#М153)

Темы:   [ Ребусы ]
[ Десятичная система счисления ]
Сложность: 7+

Автор: Ионин Ю.И.

Двое играют в следующую игру. Один называет цифру, а другой вставляет её по своему усмотрению вместо одной из звёздочек в следующей разности:

********.

Затем первый называет ещё одну цифру, второй ставит её, первый опять называет цифру, и так играют до тех пор, когда все звёздочки будут заменены цифрами. Первый стремится к тому, чтобы разность получилась как можно больше, а второй — чтобы она стала как можно меньше. Докажите, что

а) второй может расставлять цифры так, чтобы полученная разность стала не больше 4000, независимо от того, какие цифры называл первый;

б) первый может называть цифры так, чтобы разность стала не меньше 4000, независимо от того, куда расставляет цифры второй.
Прислать комментарий     Решение


Задача 73689  (#М154)

Темы:   [ Системы отрезков, прямых и окружностей ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Принцип Дирихле (углы и длины) ]
Сложность: 6+
Классы: 8,9,10

На прямой дано 50 отрезков. Докажите, что верно хотя бы одно из следующих утверждений:

  • некоторые 8 из этих отрезков имеют общую точку;
  • некоторые 8 из этих отрезков таковы, что никакие два из них не пересекаются.
Прислать комментарий     Решение

Задача 73692  (#М157)

Темы:   [ Системы алгебраических неравенств ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Системы алгебраических нелинейных уравнений ]
[ Средние величины ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Ионин Ю.И.

Сумма n положительных чисел  x1, x2, x3, ..., xn  равна 1.
Пусть S – наибольшее из чисел  
Найдите наименьшее возможное значение S. При каких значениях  x1, x2, ..., xn  оно достигается?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 48]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .