Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 30]

Задача 61453 (#11.026)

Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Разложение на множители	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Докажите, что при всех натуральных n число f (n) = 2^2n–1 – 9n² + 21n – 14 делится на 27.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61454 (#11.027)

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Перебор случаев	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Для каких натуральных n в выражении

±1²±2²±3²±...±n²

можно так расставить знаки + и -, что в результате получится 0?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61455 (#11.028)

Тема:

[

Функции нескольких переменных

]

Сложность: 2+
Классы: 8,9,10,11

Определение. Пусть функция f (x, y) задана во всех точках плоскости с целыми координатами. Назовем функцию f (x, y) гармонической, если ее значение в каждой точке равно среднему арифметическому значений функции в четырех соседних точках, то есть:
f (x, y)=1/4(f (x+1, y)+ f (x-1, y)+f (x, y+1) + f (x, y-1)).
Пусть f (x, y) и g(x, y) — гармонические функции. Докажите, что для любых a и b функция af (x, y) + bg(x, y) также будет гармонической.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61456 (#11.029)

Тема:

[

Функции нескольких переменных

]

Сложность: 3-
Классы: 8,9,10,11

Пусть f (x, y) — гармоническая функция (определение смотри в задаче 11.28). Докажите, что функции $\Delta_{x}^{}$ f (x, y) = f (x + 1, y) - f (x, y) и $\Delta_{y}^{}$ f (x, y) = f (x, y + 1) - f (x, y) также будут гармоническими.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61457 (#11.030)

[Дискретная теорема Лиувилля]

Тема:

[

Функции нескольких переменных

]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Дискретная теорема Лиувилля. Пусть f (x, y) — ограниченная гармоническая (определение смотри в задаче 11.28) функция, то есть существует положительная константа M такая, что

$\displaystyle \forall$ (x, y) $\displaystyle \in$ $\displaystyle \mathbb {Z}$ ² | f (x, y)| $\displaystyle \leqslant$ M.

Докажите, что функция f (x, y) равна константе.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 30]