Задача 61454

Темы:    [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Индукция (прочее) ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Условие

Для каких натуральных n в выражении

±1²±2²±3²±...±n²

можно так расставить знаки + и -, что в результате получится 0?

Решение

Если n = 4k + 1 или n = 4k + 2, то независимо от расстановки знаков будет получаться нечетное число. Поэтому задача решения иметь не будет. Исследуем прогрессии n = 4k + 3 и n = 4k. Покажем, что для чисел из первой прогрессии задача имеет решение начиная с n = 7, а из второй — начиная с n = 8. Очевидно, что для n = 3 и n = 4 решения не существует. Из равенства n² - (n + 1)² - (n + 2)² + (n + 3)² = 4 следует, что из восьми последовательных чисел, подобрав знаки + и -, всегда можно получить 0. Поэтому, если задача имеет решение для некоторого n, то она будет иметь решение и для всех чисел n + 8k ( k 0). Осталось показать существование решения для n = 7, 11 и 12. Поиск облегчается, если сначала выяснить, для каких комбинаций знаков можно получить 0 по модулю некоторого натурального m, например, для m = 8. Нужные представления устроены следующим образом:

1 + 4 - 9 + 16 - 25 - 36 + 49 = 0;

1 - 4 + 9 + 16 + 25 - 36 - 49 - 64 + 81 - 100 + 121 = 0;

1 - 4 + 9 + 16 + 25 - 36 + 49 - 64 + 81 - 100 - 121 + 144 = 0.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	11
Название	Последовательности и ряды
Тема	Последовательности
параграф
Номер	1
Название	Конечные разности
Тема	Последовательности (прочее)
задача
Номер	11.027