ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

В равнобедренном треугольнике ABC  (AB = AC)  угол A равен α. На стороне AB взята точка D так, что  AD = AB/n.  Найдите сумму  n – 1  углов, под которыми виден отрезок AD из точек, делящих сторону BC на n равных частей:
  а) при  n = 3;
  б) при произвольном n.

   Решение

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



Задача 98307  (#1)

Темы:   [ Параллельность прямых и плоскостей ]
[ Уравнение плоскости ]
[ Куб ]
[ Скалярное произведение ]
[ Двоичная система счисления ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Существует ли в пространстве куб, расстояния от вершин которого до данной плоскости равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?

Прислать комментарий     Решение

Задача 98308  (#2)

Темы:   [ Композиция центральных симметрий ]
[ Наибольшая или наименьшая длина ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10


Кузнечик вначале сидит в точке M плоскости Oxy вне квадрата  0 ≤ x ≤ 1,  0 ≤ y ≤ 1  (координаты M – нецелые, расстояние от M до центра квадрата равно d). Кузнечик прыгает в точку, симметричную M относительно самой правой (с точки зрения кузнечика) вершины квадрата. Докажите, что за несколько таких прыжков кузнечик не сможет удалиться от центра квадрата более чем на 10d.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98309  (#3)

Темы:   [ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

В равнобедренном треугольнике ABC  (AB = AC)  угол A равен α. На стороне AB взята точка D так, что  AD = AB/n.  Найдите сумму  n – 1  углов, под которыми виден отрезок AD из точек, делящих сторону BC на n равных частей:
  а) при  n = 3;
  б) при произвольном n.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98310  (#4)

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Задачи на проценты и отношения ]
[ Системы точек ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

В некотором государстве человек может быть зачислен в полицию только в том случае, если он выше ростом чем 80% (или больше) его соседей. Чтобы доказать свое право на зачисление в полицию, человек сам называет число R (радиус), после чего его "соседями" считаются все, кто живёт на расстоянии меньше R от него (число соседей, разумеется, должно быть не нулевое). В этом же государстве человек освобождается от службы в армии только в том случае, если он ниже ростом, чем 80% (или больше) его соседей. Определение "соседей" аналогично; человек сам называет число r (радиус) и т. д., причём R и r не обязательно совпадают. Может ли случиться, что не менее 90% населения имеют право на зачисление в полицию и одновременно не менее 90% населения освобождены от армии? (Каждый человек проживает в определенной точке плоскости.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 98311  (#5)

Темы:   [ Признаки делимости на 3 и 9 ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Тождественные преобразования ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Докажите, что существует бесконечно много таких троек чисел  n – 1,  n,  n + 1,  что:
  a) n представимо в виде суммы двух квадратов натуральных (целых положительных) чисел, а  n – 1  и  n + 1  – нет;
  б) каждое из трёх чисел представимо в виде суммы двух квадратов натуральных чисел.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .