Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 79342 (#1)

Темы:	[	Перпендикулярные прямые в пространстве	]
	[	Параллельность прямых и плоскостей	]
	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

В пространстве расположено n отрезков, никакие три из которых не параллельны одной плоскости. Для любых двух отрезков прямая, соединяющая их середины, перпендикулярна обоим отрезкам. При каком наибольшем n это возможно?

Прислать комментарий Решение

Задача 79343 (#2)

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Существуют ли а) 6, б)15, в) 1000 таких различных натуральных чисел, что для любых двух a и b из них сумма a + b делится на разность a − b?

Прислать комментарий

Решение

Задача 79341 (#3)

Темы:	[	Турниры и турнирные таблицы	]
Темы:	[	Средние величины	]

Сложность: 4
Классы: 9

В волейбольном турнире каждые две команды сыграли по одному матчу.
а) Докажите, что если для каждых двух команд найдётся третья, которая выиграла у этих двух, то число команд не меньше семи.
б) Постройте пример такого турнира семи команд.
в) Докажите, что если для любых трёх команд найдётся такая, которая выиграла у этих трёх, то число команд не меньше 15.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79344 (#4)

Темы:	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Выпуклые тела	]
	[	Правило произведения	]

Сложность: 3
Классы: 10,11

В пространстве расположен выпуклый многогранник, все вершины которого находятся в целых точках. Других целых точек внутри, на гранях и на рёбрах нет. (Целой называется точка, все три координаты которой – целые числа.) Доказать, что число вершин многогранника не превосходит восьми.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79345 (#5)

Темы:	[	Рекуррентные соотношения	]
Темы:	[	Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Дан многочлен P(x) с целыми коэффициентами, причём для каждого натурального x выполняется неравенство P(x) > x. Определим последовательность {b_n} следующим образом: b₁ = 1, b_k+1 = P(b_k) для k ≥ 1. Известно, что для любого натурального d найдется член последовательности {b_n}, делящийся на d. Докажите, что P(x) = x + 1.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]