Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Московская математическая олимпиада
>>
1960 год
>>
10 класс, 2 тур
Фильтр
Выбрано 2 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи
Даны две непересекающиеся окружности с центрами в точках O1 и O2. Пусть a1 и a2 — внутренние касательные к этим окружностям, a3 и a4 — внешние касательные к ним. Пусть, далее, a5 и a6 — касательные к окружности с центром в O1, проведённые из точки O2, a7 и a8 — касательные к окружности с центром в точке O2, проведённые из точки O1. Обозначим через O точку пересечения a1 и a2. Доказать, что с центром в точке O можно провести две окружности так, чтобы первая касалась a3 и a4, вторая касалась a5, a6, a7, a8, причём радиус второй в два раза меньше радиуса первой.
Решение
Решение
Убрать все задачи
Даны две непересекающиеся окружности с центрами в точках O1 и O2. Пусть a1 и a2 — внутренние касательные к этим окружностям, a3 и a4 — внешние касательные к ним. Пусть, далее, a5 и a6 — касательные к окружности с центром в O1, проведённые из точки O2, a7 и a8 — касательные к окружности с центром в точке O2, проведённые из точки O1. Обозначим через O точку пересечения a1 и a2. Доказать, что с центром в точке O можно провести две окружности так, чтобы первая касалась a3 и a4, вторая касалась a5, a6, a7, a8, причём радиус второй в два раза меньше радиуса первой.
Решение6n-значное число делится на 7. Последнюю цифру перенесли в начало. Доказать, что полученное число также делится на 7.
Решение
Задачи
Страница: 1 [Всего задач: 5]
Число A делится на 1, 2, 3, ..., 9. Доказать, что если 2A представлено в виде суммы натуральных чисел, меньших 10, 2A = a1 + a2 + ... + ak, то из чисел a1, a2, ..., ak можно выбрать часть, сумма которых равна A.
Найти геометрическое место центров прямоугольников, описанных около данного
остроугольного треугольника.
Страница: 1 [Всего задач: 5]
Задача 78234 (#1) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 78235 (#2) |
|
|
6n-значное число делится на 7. Последнюю цифру перенесли в начало. Доказать, что полученное число также делится на 7.
|
|
|
Решение |
Задача 78236 (#3) |
|
|
Собралось n человек. Некоторые из них знакомы между собой, причём каждые два незнакомых имеют ровно двух общих знакомых, а каждые два знакомых не имеют общих знакомых. Доказать, что каждый из присутствующих знаком с одинаковым числом человек.
|
|
|
Решение |
Задача 78232 (#4) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 78237 (#5) |
|
|
Улитка должна проползти вдоль линий клетчатой бумаги путь длины 2n, начав и кончив свой путь в данном узле.
Доказать, что число различных её маршрутов равно
|
|
|
Решение |
Страница: 1 [Всего задач: 5]
