Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 78217 (#1)

Темы:	[	ГМТ в пространстве (прочее)	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Скрещивающиеся прямые и ГМТ	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Два правильных равных треугольника расположены в пространстве в параллельных плоскостях P₁ и P₂, причём отрезок, соединяющий их центры, перпендикулярен плоскостям. Найти геометрическое место точек, являющихся серединами отрезков, соединяющих точки одного треугольника с точками другого треугольника.

Прислать комментарий Решение

Задача 78218 (#2)

Темы:	[	Разложение на множители	]
Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

a, b и n – натуральные числа, и n нечётно. Докажите, что если числитель и знаменатель дроби делятся на n, то и сама дробь делится на n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108132 (#3)

Темы:	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Фольклор

Дана окружность и точка A внутри неё.
Найдите геометрическое место вершин C всевозможных прямоугольников ABCD, где точки B и D лежат на окружности.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78219 (#4)

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

В десятичной записи целого числа A все цифры, кроме первой и последней, нули, первая и последняя – не нули, число цифр – не меньше трёх.
Доказать, что A не является точным квадратом.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78220 (#5)

Тема:

[

Принцип крайнего (прочее)

]

Сложность: 4+
Классы: 11

Даны числа $\alpha_{1}$ , $\alpha_{2}$ ,..., $\alpha_{k}$ , причём для всех натуральных нечётных n имеет место равенство

$\displaystyle \alpha_{1}^{n}$ + $\displaystyle \alpha_{2}^{n}$ + ... + $\displaystyle \alpha_{k}^{n}$ = 0.

Доказать, что те из чисел $\alpha_{1}$ , $\alpha_{2}$ ,..., $\alpha_{k}$ , которые не равны нулю, можно разбить на пары таким образом, чтобы два числа, входящие в одну и ту же пару, были бы равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]