Версия для печати
Убрать все задачи

---

По одной стороне бесконечного коридора расположено бесконечное количество комнат, занумерованных числами от минус бесконечности до плюс бесконечности. В комнатах живут 9 пианистов (в одной комнате могут жить несколько пианистов), кроме того, в каждой комнате находится по роялю. Каждый день какие-то два пианиста, живущие в соседних комнатах (k-й и (k+1)-й), приходят к выводу, что они мешают друг другу, и переселяются соответственно в (k–1)-ю и (k+2)-ю комнаты. Докажите, что через конечное число дней эти переселения прекратятся. (Пианисты, живущие в одной комнате, друг другу не мешают.)

   Решение

---

Найдите наибольшее натуральное число, не оканчивающееся нулем, которое при вычеркивании одной (не первой) цифры уменьшается в целое число раз.

   Решение

---

Дан выпуклый многоугольник и точка O внутри него. Любая прямая, проходящая через точку O, делит площадь многоугольника пополам. Доказать, что многоугольник центрально-симметричный и O — центр симметрии.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 4]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78214  (#1)

Темы:   [ Обыкновенные дроби ] [ Индукция (прочее) ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Доказать, что любая правильная дробь может быть представлена в виде (конечной) суммы обратных величин попарно различных целых чисел.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78213  (#2)

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Разложение на множители ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде  p + n^2k  ни при каких простых p и целых n и k.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78215  (#3)

Темы:   [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ] [ Свойства симметрии и центра симметрии ] [ Доказательство от противного ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ] [ Малые шевеления ] [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Дан выпуклый многоугольник и точка O внутри него. Любая прямая, проходящая через точку O, делит площадь многоугольника пополам. Доказать, что многоугольник центрально-симметричный и O — центр симметрии.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108132  (#4)

Темы:   [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Дана окружность и точка A внутри неё.
Найдите геометрическое место вершин C всевозможных прямоугольников ABCD, где точки B и D лежат на окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 4]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями