Версия для печати
Убрать все задачи

---

Обозначим через T_k(n) сумму произведений по k чисел от 1 до n. Например,    T₂(4) = 1·2 + 1·3 + 1·4 + 2·3 + 2·4 + 3·4.
   а) Найдите формулы для T₂(n) и T₃(n).
   б) Докажите, что T_k(n) является многочленом от n степени 2k.
   в) Укажите метод нахождения многочленов T_k(n) при  k = 2, 3, 4, ...  и примените его для отыскания многочленов T₄(n) и T₅(n).

   Решение

---

Собралось n человек. Некоторые из них знакомы между собой, причём каждые два незнакомых имеют ровно двух общих знакомых, а каждые два знакомых не имеют общих знакомых. Доказать, что каждый из присутствующих знаком с одинаковым числом человек.

   Решение

---

Клетчатый бумажный квадрат 8×8 согнули несколько раз по линиям клеток так, что получился квадратик 1×1. Его разрезали по отрезку, соединяющему середины двух противоположных сторон квадратика. На сколько частей мог при этом распасться квадрат?

   Решение

---

В треугольнике ABC высота AH проходит через середину медианы BM.
Докажите, что в треугольнике BMC также одна из высот проходит через середину одной из медиан.

   Решение

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 12]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65224

Темы:   [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

В треугольнике ABC высота AH проходит через середину медианы BM.
Докажите, что в треугольнике BMC также одна из высот проходит через середину одной из медиан.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65225

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Квадрат ABCD и равносторонний треугольник MKL расположены так, как это показано на рисунке. Найдите угол PQD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65226

Темы:   [ Построение треугольников по различным точкам ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

В треугольнике ABC на сторонах AC, BC и AB отметили точки D, E и F соответственно, так, что  AD = AB,  EC = DC,  BF = BE.  После этого стёрли всё, кроме точек E, F и D. Восстановите треугольник ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65230

Темы:   [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

У двух трапеций соответственно равны углы и диагонали. Верно ли, что такие трапеции равны?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65231

Темы:   [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Прямая l перпендикулярна одной из медиан треугольника. Серединные перпендикуляры к сторонам этого треугольника пересекают прямую l в трёх точках. Докажите, что одна из них является серединой отрезка, образованного двумя оставшимися.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 12]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями