Версия для печати
Убрать все задачи

---

Имеются чашечные весы и 100 монет, среди которых несколько (больше 0, но меньше 99) фальшивых. Все фальшивые монеты весят одинаково, все настоящие тоже весят одинаково, при этом фальшивая монета легче настоящей. Можно делать взвешивание на весах, заплатив перед взвешиванием одну из монет (неважно, фальшивую или настоящую). Докажите, что можно с гарантией обнаружить настоящую монету.

   Решение

---

Имеется множество билетов с номерами от 1 до 30 (номера могут повторяться). Каждый из учеников вытянул один билет. Учитель может произвести следующую операцию: прочитать список из нескольких (возможно – одного) номеров и попросить их владельцев поднять руки. Сколько раз он должен проделать такую операцию, чтобы узнать номер каждого ученика? (Учеников не обязательно 30.)

   Решение

---

В выпуклом четырёхугольнике ABCD лучи AB и DC пересекаются в точке K. На биссектрисе угла AKD нашлась такая точка P, что прямые BP и CP делят пополам отрезки AC и BD соответственно. Докажите, что  AB = CD.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64699  (#8.1)

Темы:   [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В неравнобедренном треугольнике ABC проведены высота из вершины A и биссектрисы из двух других вершин.
Докажите, что описанная окружность треугольника, образованного этими тремя прямыми, касается биссектрисы, проведённой из вершины A.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64700  (#8.2)

Тема:   [ ГМТ (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Даны две точки A и B. Найдите геометрическое место таких точек C, что точки A, B и C можно накрыть кругом единичного радиуса.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64701  (#8.3)

Темы:   [ Четырехугольники (прочее) ] [ Осевая и скользящая симметрии (прочее) ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В выпуклом четырёхугольнике ABCD лучи AB и DC пересекаются в точке K. На биссектрисе угла AKD нашлась такая точка P, что прямые BP и CP делят пополам отрезки AC и BD соответственно. Докажите, что  AB = CD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64702  (#8.4)

Темы:   [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В равные углы X₁OY и YOX₂ вписаны окружности ω₁ и ω₂, касающиеся сторон OX₁ и OX₂ в точках A₁ и A₂ соответственно, а стороны OY – в точках B₁ и B₂. C₁ – вторая точка пересечения A₁B₂ и ω₁, а C₂ – вторая точка пересечения A₂B₁ и ω₂. Докажите, что C₁C₂ – общая касательная к окружностям.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64703  (#8.5)

Темы:   [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Средняя линия треугольника ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

В треугольнике ABC проведены высота AH, биссектриса BL и медиана CM. Известно, что в треугольнике HLM прямая AH является высотой, а BL – биссектрисой. Докажите, что CM является в этом треугольнике медианой.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями