Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел
>>
глава 6. Многочлены
>>
параграф 4. Многочлены с кратными корнями
Фильтр
Выбрано 10 задач Убрать все задачи
a, b, c – такие три числа, что a + b + c = 0. Доказать, что в этом случае справедливо соотношение ab + ac + bc ≤ 0.
РешениеРаскрашенный в чёрный и белый цвета кубик с гранью в одну клетку поставили на одну из клеток шахматной доски и прокатили по ней так, что кубик побывал на каждой клетке ровно по одному разу. Можно ли так раскрасить кубик и так прокатить его по доске, чтобы каждый раз цвета клетки и соприкоснувшейся с ней грани совпадали?
РешениеВ кошельке лежат 2 монеты на общую сумму 15 коп. Одна из них не пятак. Что это за монеты?
РешениеНатуральное число называют совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, кроме самого этого числа. (Например, число 28 – совершенное: 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.) Докажите, что совершенное число не может быть полным квадратом.
РешениеИз вершины B произвольного треугольника ABC проведены вне треугольника прямые BM и BN, так что ∠ABM = ∠CBN. Точки A' и C' симметричны точкам A и C относительно прямых BM и BN (соответственно). Доказать, что AC' = A'C.
РешениеСколькими способами можно разбить 14 человек на пары?
РешениеПри каком наименьшем $k$ среди любых трёх ненулевых действительных чисел можно выбрать такие два числа $a$ и $b$, что |$a - b$| ≤ $k$ или |1/a – 1/b| ≤ $k$?
РешениеВ квадрат вписано 1993 различных правильных треугольника (треугольник
вписан, если три его вершины лежат на сторонах квадрата).
Докажите, что внутри квадрата можно указать точку, лежащую на границе не
менее чем 499 из этих треугольников.
Решение На рисунке можно найти 9 прямоугольников. Известно, что у каждого из них длина и ширина – целые.
Сколько прямоугольников из этих девяти могут иметь нечётную площадь?
РешениеДля данного многочлена P(x) опишем способ, который позволяет
построить многочлен R(x), который имеет те же корни, что и
P(x), но все кратности 1. Положим Q(x) = (P(x), P'(x)) и R(x) = P(x)Q–1(x). Докажите, что
а) все корни многочлена P(x) будут корнями R(x);
б) многочлен R(x) не имеет кратных корней.
Решение
Задачи
Задача 61018 (#06.095) |
|
|
Докажите, что корень a многочлена P(x) имеет кратность больше 1 тогда и только тогда, когда P(a) = 0 и P'(a) = 0.
|
|
Решение |
Задача 61019 (#06.096) |
|
|
Для данного многочлена P(x) опишем способ, который позволяет
построить многочлен R(x), который имеет те же корни, что и
P(x), но все кратности 1. Положим Q(x) = (P(x), P'(x)) и R(x) = P(x)Q–1(x). Докажите, что
а) все корни многочлена P(x) будут корнями R(x);
б) многочлен R(x) не имеет кратных корней.
|
|
|
Решение |
Задача 61020 (#06.097) |
|
|
а) P(x) = x6 – 6x4 – 4x3 + 9x2 + 12x + 4;
б) P(x) = x5 + x4 – 2x3 – 2x2 + x + 1.
|
|
|
Решение |
Задача 61021 (#06.098) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 61022 (#06.099) |
|
|
При каких A и B многочлен Axn+1 + Bxn + 1 имеет число x = 1 не менее чем двукратным корнем?
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 12]
