ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Версия для печати
Убрать все задачи Царь пообещал награду тому, кто сможет на каменистом пустыре посадить красивый фруктовый сад. Об этом узнали два брата. Старший смог выкопать 18 ям (см. рис. слева). Больше нигде не удалось, только все лопаты сломал. Царь рассердился и посадил его в темницу. Тогда младший брат Иван предложил разместить яблони, груши и сливы в вершинах равных треугольников (см. рис. справа), а остальные ямы засыпать.
Игра ``Шоколадка''. Имеется шоколадка, состоящая из 6×8 = 48 долек. Одна из долек отмечена: а) Опишите выигрышную стратегию в этой игре. Кто из игроков выиграет при данных начальных условиях? б) При каких размерах шоколадки начинающий игрок выигрывает при любом расположении отмеченной дольки? в) При каких размерах шоколадки начинающий игрок проигрывает при любом расположении отмеченной дольки? Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]
1) m и k записываются в двоичной системе счисления
m = (ms...m1m0)2, k = (ks...k1k0)2
(меньшее
число дополняется спереди нулями).
2) Полученные наборы цифр как векторы складываются покомпонентно по модулю 2:
(ms,..., m1, m0) + (ks,..., k1, k0) (ns,..., n1, n0)(mod 2).
3) Набор цифр
(ns,..., n1, n0) переводится в число n:
(ns...n1n0)2 = n.
Например, 4 7 = 3, так как
4 = (100)2, 7 = (111)2, (1, 0, 0) + (1, 1, 1) (0, 1, 1)(mod 2), (011)2 = 3.
Докажите, что ним-сумма удовлетворяет следующим свойствам:
а) m m = 0; б) m k = k m; в) (m t) k = m (t k); г) если n 0 и то найдется такой номер j ( 1 j l), для которого mj n < mj.
а) Докажите, что если игрок делает ход из позиции с нулевой ним-суммой, то в результате получается позиция с ним-суммой n 0. б) Докажите, что из позиции с ненулевой ним-суммой всегда можно сделать ход в позицию с ним-суммой n = 0. в) Опишите выигрышную стратегию в игру ``Ним''. г) Какой следует сделать ход, если перед вами три кучки: 3, 4 и 5 камней?
Постройте на множестве марсианских амеб {A, B, C} функцию f, для которой выполнялись бы равенства
f (A) f (B) = f (C), f (A) f (C) = f (B), f (B) f (C) = f (A).
Какие рассуждения остается провести, чтобы решить задачу про амеб?
а) Опишите выигрышную стратегию в этой игре. Кто из игроков выиграет при данных начальных условиях? б) При каких размерах шоколадки начинающий игрок выигрывает при любом расположении отмеченной дольки? в) При каких размерах шоколадки начинающий игрок проигрывает при любом расположении отмеченной дольки?
Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30] |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|