Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 58468 (#31.001)

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Докажите, что если ac - b² ≠ 0, то с помощью параллельного переноса x' = x + x₀, y' = y + y₀ уравнение Q(x, y) + 2dx + 2ey = f, где Q (x, y) = ax² + 2bxy + cy² можно привести к виду

ax'² + 2bx'y' + cy'² = f',

где f' = f - Q(x₀, y₀) + 2(dx₀ + ey₀).

Прислать комментарий

Решение

Задача 58469 (#31.002)

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Докажите, что с помощью поворота

x'' = x'cosφ + y'sinφ, y'' = - x'sinφ + y'cosφ

в уравнении ax'² + 2bx'y' + cy'² = f' коэффициент при x'y' можно сделать равным нулю.

Прислать комментарий

Решение

Задача 58470 (#31.003)

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Докажите, что при повороте x'' = x'cosφ + y'sinφ, y'' = - x'sinφ + y'cosφ выражение ax'² + 2bx'y' + cy'² переходит в a₁x'² + 2b₁x''y'' + c₁y'², причём a₁c₁ - b₁² = ac - b².

Прислать комментарий Решение

Задача 58471 (#31.004)

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Докажите, что если ac - b² ≠ 0, то кривая Q(x, y) + 2dx + 2ey = f, где Q (x, y) = ax² + 2bxy + cy² изометрична либо кривой ${\dfrac{x^2}{\alpha^2}}$ + ${\dfrac{y^2}{\beta^2}}$ = 1 (называемой эллипсом), либо кривой ${\dfrac{x^2}{\alpha^2}}$ - ${\dfrac{y^2}{\beta^2}}$ = 1, (называемой гиперболой), либо паре пересекающихся прямых ${\dfrac{x^2}{\alpha^2}}$ = ${\dfrac{y^2}{\beta^2}}$ , либо представляет собой одну точку или пустое множество.

Прислать комментарий Решение

Задача 58472 (#31.005)

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Докажите, что если ac - b² = 0, то кривая Q(x, y) + 2dx + 2ey = f, где Q (x, y) = ax² + 2bxy + cy² изометрична либо кривой y² = 2px (называемой параболой), либо паре параллельных прямых y² = c², либо паре слившихся прямых y² = 0, либо представляет собой пустое множество.

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]