Задача 58472

Тема:    [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10

Условие

Докажите, что если ac - b² = 0, то кривая Q(x, y) + 2dx + 2ey = f, где Q (x, y) = ax² + 2bxy + cy² изометрична либо кривой y² = 2px (называемой параболой), либо паре параллельных прямых y² = c², либо паре слившихся прямых y² = 0, либо представляет собой пустое множество.

Решение

Если b = 0, то a = 0 или c = 0. Сделав при необходимости замену координат x' = y и y' = x, можно считать, что a = 0. Пусть теперь b ≠ 0. При повороте

x = x'cos + y'sin,    y = - x'sin + y'cos

выражение ax² + 2bxy + cy² переходит в a₁x'² + 2b₁x'y' + c₁y'², где a₁ = a cos² - 2b cossin + c sin². По условию ac = b², поэтому если tg = , то a₁ = 0.
Итак, в обоих случаях мы приходим к уравнению вида y² + 2dx + 2ey = f. Сделаем замену x' = x + x₀, y' = y + e. В результате получим уравнение y'² - e² + 2d (x' - x₀) = f. Если d = 0, то получаем уравнение вида y'² = , а если d ≠ 0, то при соответствующем выборе x₀ получаем уравнение y'² + 2dx' = 0.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	31
Название	Эллипс, парабола, гипербола
Тема	Неопределено
параграф
Номер	1
Название	Классификация кривых второго порядка
Тема	Кривые второго порядка
задача
Номер	31.005