В три сосуда налито по целому числу литров воды. В любой сосуд разрешено перелить столько воды, сколько в нём уже содержится, из любого другого сосуда. Докажите, что несколькими такими переливаниями можно освободить один из сосудов. (Сосуды достаточно велики: каждый может вместить всю воду.)

   Решение

У каждого жителя города Тьмутаракань есть свои тараканы, не у всех поровну. Два таракана являются товарищами, если у них общий хозяин (в частности, каждый таракан сам себе товарищ). Что больше: среднее количество тараканов, которыми владеет житель города, или среднее количество товарищей у таракана?

   Решение

Пусть O — центр линзы,  — некоторая плоскость, проходящая через ее оптическую ось a и f — прямые пересечения плоскости  с плоскостью линзы и с фокальной плоскостью соответственно (a| f ). В школьном курсе физики показано, что если пренебречь толщиной линзы, то изображение M' точки M, лежащей в плоскости , строится следующим образом (рис.). Проведем через точку M произвольную прямую l; пусть A — точка пересечения прямых a и l, B — точка пересечения прямой f с прямой, проходящей через O параллельно l. Тогда M' есть точка пересечения прямых AB и OM. Докажите, что преобразование плоскости , сопоставляющее каждой точке ее изображение, является проективным.
Таким образом, через увеличительное стекло мы видим образ нашего мира при проективном преобразовании.

   Решение

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 13]      

Даны две параллельные прямые a, b и точка O. Тогда для каждой точки M можно выполнить следующее построение. Проведем через M произвольную прямую l, не проходящую через O и пересекающую прямые a и b. Точки пересечения обозначим соответственно через A и B, и пусть M' — точка пересечения прямой OM с прямой, параллельной OB и проходящей через A.
а) Докажите, что точка M' не зависит от выбора прямой l.
б) Докажите, что преобразование плоскости, переводящее точку M в точку M', является проективным.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что преобразование координатной плоскости, которое каждую точку с координатами (x, y) отображает в точку с координатами ,, является проективным.

Прислать комментарий

Решение

Пусть O — центр линзы,  — некоторая плоскость, проходящая через ее оптическую ось a и f — прямые пересечения плоскости  с плоскостью линзы и с фокальной плоскостью соответственно (a| f ). В школьном курсе физики показано, что если пренебречь толщиной линзы, то изображение M' точки M, лежащей в плоскости , строится следующим образом (рис.). Проведем через точку M произвольную прямую l; пусть A — точка пересечения прямых a и l, B — точка пересечения прямой f с прямой, проходящей через O параллельно l. Тогда M' есть точка пересечения прямых AB и OM. Докажите, что преобразование плоскости , сопоставляющее каждой точке ее изображение, является проективным.
Таким образом, через увеличительное стекло мы видим образ нашего мира при проективном преобразовании.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 13]