Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]

Задача 58207 (#24.004B1)

Тема:

[

Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки

]

Сложность: 5
Классы: 9,10

Вершины выпуклого многоугольника расположены в узлах целочисленной решётки, причём ни одна из его сторон не проходит по линиям решётки. Докажите, что сумма длин горизонтальных отрезков линий решётки, заключённых внутри многоугольника, равна сумме длин вертикальных отрезков.

Прислать комментарий Решение

Задача 58208 (#24.005)

Тема:

[

Теорема Пика

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

Вершины многоугольника (не обязательно выпуклого) расположены в узлах целочисленной решетки. Внутри его лежит n узлов решетки, а на границе m узлов. Докажите, что его площадь равна n + m/2 - 1 (формула Пика).

Прислать комментарий Решение

Задача 78839 (#24.005б)

Темы:	[	Ряд Фарея	]
	[	Обыкновенные дроби	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Теорема Пика	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Рассмотрим все рациональные числа между нулём и единицей, знаменатели которых не превосходят n, расположенные в порядке возрастания (ряд Фарея). Пусть ^a/_b и ^c/_d – какие-то два соседних числа (дроби несократимы). Доказать, что |bc – ad| = 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 58210 (#24.006)

Тема:

[

Теорема Пика

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

Вершины треугольника ABC расположены в узлах целочисленной решетки, причем на его сторонах других узлов нет, а внутри его есть ровно один узел O. Докажите, что O — точка пересечения медиан треугольника ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 58211 (#24.006б)

Тема:

[

Теорема Пика

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Докажите, что квадрат со стороной n не может накрыть более (n + 1)² точек целочисленной решётки.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]