На сторонах выпуклого четырёхугольника как на диаметрах построены четыре круга. Докажите, что они покрывают весь четырёхугольник.

   Решение

У Джузеппе есть лист фанеры, размером 22×15. Джузеппе хочет из него вырезать как можно больше прямоугольных заготовок размером 3×5. Как это сделать?

   Решение

Теорема Эйлера. Пусть  m ≥ 1  и  (a, m) = 1.  Тогда  a^φ(m) ≡ 1 (mod m).
Докажите теорему Эйлера с помощью малой теоремы Ферма
  а) в случае, когда  m = pⁿ;
  б) в общем случае.

   Решение

Докажите, что постоянный треугольник трех подобных фигур подобен треугольнику, образованному их соответственными прямыми, причем эти треугольники противоположно ориентированы.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 9]      

Прямые A₂B₂ и A₃B₃, A₃B₃ и A₁B₁, A₁B₁ и A₂B₂ пересекаются в точках P₁, P₂, P₃ соответственно.
а) Докажите, что описанные окружности треугольников A₁A₂P₃, A₁A₃P₂ и A₂A₃P₁ пересекаются в одной точке, лежащей на окружности подобия отрезков A₁B₁, A₂B₂ и A₃B₃.
б) Пусть O₁ — центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок A₂B₂ в отрезок A₃B₃; точки O₂ и O₃ определяются аналогично. Докажите, что прямые P₁O₁, P₂O₂ и P₃O₃ пересекаются в одной точке, лежащей на окружности подобия отрезков A₁B₁, A₂B₂ и A₃B₃.

Прислать комментарий

Решение

Пусть A₁B₁, A₂B₂ и A₃B₃, а также A₁C₁, A₂C₂ и A₃C₃ — соответственные отрезки подобных фигур F₁, F₂ и F₃. Докажите, что треугольник, образованный прямыми A₁B₁, A₂B₂ и A₃B₃, подобен треугольнику, образованному прямыми A₁C₁, A₂C₂ и A₃C₃, причем центр поворотной гомотетии, переводящей один из этих треугольников в другой, лежит на окружности подобия фигур F₁, F₂ и F₃.

Прислать комментарий

Решение

Пусть l₁, l₂ и l₃ — соответственные прямые подобных фигур F₁, F₂ и F₃, пересекающиеся в точке W.
а) Докажите, что точка W лежит на окружности подобия фигур F₁, F₂ и F₃.
б) Пусть J₁, J₂ и J₃ — точки пересечения прямых l₁, l₂ и l₃ с окружностью подобия, отличные от точки W. Докажите, что эти точки зависят только от фигур F₁, F₂ и F₃ и не зависят от выбора прямых l₁, l₂ и l₃.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что постоянный треугольник трех подобных фигур подобен треугольнику, образованному их соответственными прямыми, причем эти треугольники противоположно ориентированы.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что постоянные точки трех подобных фигур являются их соответственными точками.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 9]