а) Точка O лежит внутри выпуклого n-угольника A₁A₂A₃...A_n. Рассматриваются углы A_iOA_j при всевозможных парах  (i, j)  (i, j – различные натуральные числа от 1 до n). Докажите, что среди этих углов найдётся по крайней мере  n – 1  не острых (прямых, тупых или развёрнутых) углов.

б) То же для выпуклого многогранника, имеющего n вершин.

   Решение

Карлсон ест треугольный торт. Он режет торт по биссектрисе одного из углов, съедает одну из частей, а с другой повторяет ту же операцию. Если Карлсон съест больше половины торта, он станет не в меру упитанным мужчиной в самом расцвете сил. Докажите, что рано или поздно это произойдёт.

   Решение

На основании AB равнобедренного треугольника ABC взята точка E, и в треугольники ACE и ECB вписаны окружности, касающиеся отрезка CE в точках M и N. Найдите длину отрезка MN, если известны длины отрезков AE и BE.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 9]      

Прямые PA и PB касаются окружности с центром O (A и B — точки касания). Проведена третья касательная к окружности, пересекающая отрезки PA и PB в точках X и Y. Докажите, что величина угла XOY не зависит от выбора третьей касательной.

Прислать комментарий

Решение

Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны BC в точке K, а вневписанная — в точке L. Докажите, что  CK = BL = (a + b - c)/2, где a, b, c — длины сторон треугольника.

Прислать комментарий

Решение

На основании AB равнобедренного треугольника ABC взята точка E, и в треугольники ACE и ECB вписаны окружности, касающиеся отрезка CE в точках M и N. Найдите длину отрезка MN, если известны длины отрезков AE и BE.

Прислать комментарий

Решение

Четырехугольник ABCD обладает тем свойством, что существует окружность, вписанная в угол BAD и касающаяся продолжений сторон BC и CD. Докажите, что  AB + BC = AD + DC.

Прислать комментарий

Решение

Общая внутренняя касательная к окружностям с радиусами R и r пересекает их общие внешние касательные в точках A и B и касается одной из окружностей в точке C. Докажите, что  AC ^. CB = Rr.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 9]