Информация о задаче

Задача 56856

Тема:

[

Прямоугольные треугольники (прочее)

]

Сложность: 5
Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC внешним образом построен квадрат ABPQ. Пусть $\alpha$ = $\angle$ ACQ, $\beta$ = $\angle$ QCP и $\gamma$ = $\angle$ PCB. Докажите, что cos $\beta$ = cos $\alpha$ cos $\gamma$ .

Решение

Так как ${\frac{\sin ACQ}{AQ}}$ = ${\frac{\sin AQC}{AC}}$ , то ${\frac{\sin\alpha }{a}}$ = ${\frac{\sin(180^{\circ}-\alpha -90^{\circ}-\varphi )}{a\cos\varphi }}$ = ${\frac{\cos(\alpha +\varphi )}{a\cos\varphi }}$ , где a — сторона квадрата ABPQ, $\varphi$ = $\angle$ CAB. Поэтому ctg $\alpha$ = 1 + tg $\varphi$ . Аналогично ctg $\gamma$ = 1 + tg(90^o - $\varphi$ ) = 1 + ctg $\varphi$ . Следовательно, tg $\alpha$ + tg $\gamma$ = ${\frac{1}{1+{\rm tg}\varphi }}$ + ${\frac{1}{1+{\rm ctg}\varphi }}$ = 1, а значит, cos $\alpha$ cos $\gamma$ = cos $\alpha$ sin $\gamma$ + cos $\gamma$ sin $\alpha$ = sin( $\alpha$ + $\gamma$ ) = cos $\beta$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	2
Название	Прямоугольные треугольники
Тема	Прямоугольные треугольники (прочее)
задача
Номер	05.022