Длины всех сторон прямоугольного треугольника являются целыми числами, причем наибольший общий делитель этих чисел равен 1. Докажите, что его катеты равны 2mn и m² - n², а гипотенуза равна m² + n², где m и n — натуральные числа.

   Решение

Четыре прямые образуют четыре треугольника.
а) Докажите, что описанные окружности этих треугольников имеют общую точку (точка Микеля).
б) Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности, проходящей через точку Микеля.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

Четыре прямые образуют четыре треугольника.
а) Докажите, что описанные окружности этих треугольников имеют общую точку (точка Микеля).
б) Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности, проходящей через точку Микеля.

Прислать комментарий

Решение

Прямая пересекает стороны AB, BC и CA треугольника (или их продолжения) в точках C₁, B₁ и A₁; O, O_a, O_b и O_c — центры описанных окружностей треугольников  ABC, AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C; H, H_a, H_b и H_c — ортоцентры этих треугольников. Докажите, что:
а)  O_aO_bO_c ABC.
б) серединные перпендикуляры к отрезкам  OH, O_aH_a, O_bH_b и O_cH_c пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Четырехугольник ABCD вписанный. Докажите, что точка Микеля для прямых, содержащих его стороны, лежит на отрезке, соединяющем точки пересечения продолжений сторон.

Прислать комментарий

Решение

Точки A, B, C и D лежат на окружности с центром O. Прямые AB и CD пересекаются в точке E, а описанные окружности треугольников AEC и BED пересекаются в точках E и P. Докажите, что:
а) точки A, D, P и O лежат на одной окружности;
б)  EPO = 90^o.

Прислать комментарий

Решение

Даны четыре прямые. Докажите, что проекции точки Микеля на эти прямые лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]