В вершинах кубика написали числа от 1 до 8, а на каждом ребре – модуль разности чисел, стоящих в его концах. Какое наименьшее количество различных чисел может быть написано на ребрах?

   Решение

Имеется n целых чисел  (n > 1).  Известно, что каждое из них отличается от произведения всех остальных на число, кратное n.
Докажите, что сумма квадратов этих чисел делится на n.

   Решение

Докажите, что основания высот, середины сторон и середины отрезков от ортоцентра до вершин треугольника лежат на одной окружности.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 10]      

Докажите, что основания высот, середины сторон и середины отрезков от ортоцентра до вершин треугольника лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что в любом треугольнике точка H пересечения высот (ортоцентр), центр O описанной окружности и точка M пересечения медиан (центр тяжести) лежат на одной прямой, причём точка M расположена между точками O и H, и MH = 2MO.

Прислать комментарий

Решение

Какие стороны пересекает прямая Эйлера в остроугольном и тупоугольном треугольниках?

Прислать комментарий

Решение

а) Докажите, что описанная окружность треугольника ABC является окружностью девяти точек для треугольника, образованного центрами вневписанных окружностей треугольника ABC.
б) Докажите, что описанная окружность делит пополам отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей.

Прислать комментарий

Решение

Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что треугольники ABC, HBC, AHC и ABH имеют общую окружность девяти точек.
б) Докажите, что прямые Эйлера треугольников  ABC, HBC, AHC и ABH пересекаются в одной точке.
в) Докажите, что центры описанных окружностей треугольников  ABC, HBC, AHC и ABH образуют четырехугольник, симметричный четырехугольнику HABC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 10]