Каталог по источникам

Выбрано 5 задач

Докажите, что среди степеней двойки есть две, разность которых делится на 1987.

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Перпендикуляр, опущенный из точки A на сторону CD, проходит через середину диагонали BD, а перпендикуляр, опущенный из точки D на сторону AB, проходит через середину диагонали AC. Докажите, что трапеция равнобокая.

Решение

Построить треугольник по высоте и медиане, выходящим из одной вершины, и радиусу описанного круга.

Решение

Старый калькулятор I. а) Предположим, что мы хотим найти $\sqrt[3]{x}$ (x > 0) на калькуляторе, который кроме четырех обычных арифметических действий умеет находить $\sqrt{x}$ . Рассмотрим следующий алгоритм. Строится последовательность чисел {y_n}, в которой y₀ — произвольное положительное число, например, y₀ = $\sqrt{\sqrt{x}}$ , а остальные элементы определяются соотношением

y_{n + 1} = $\displaystyle \sqrt{\sqrt{x\,y_n}}$ (n $\displaystyle \geqslant$ 0).

Докажите, что

$\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}^{}$ y_n = $\displaystyle \sqrt[3]{x}$ .

б) Постройте аналогичный алгоритм для вычисления корня пятой степени.

Решение

Найти все такие натуральные числа p, что p и 5p + 1 – простые.

Решение

Задача 31273 (#01)

Задача 30392 (#02)

Задача 31275 (#03)

Задача 31276 (#04)

Задача 31277 (#05)