Каталог по источникам

Выбрано 7 задач

В клетках таблицы 3×3 расставлены числа –1, 0, 1.
Докажите, что какие-то две из восьми сумм по всем строкам, всем столбцам и двум главным диагоналям будут равны.

Решение

Постройте параллелограмм по двум соседним сторонам и углу между ними.

Решение

Пусть многочлен P(x) = xⁿ + a_n–1x^n–1 + ... + a₁x + a₀ имеет корни x₁, x₂, ..., x_n, то есть P(x) = (x – x₁)(x – x₂)...(x – x_n). Рассмотрим многочлен
Q₍x) = P(x)P(– x). Докажите, что
а) многочлен Q(x) имеет степень 2n и содержит только чётные степени переменной x;
б) функция Q() является многочленом с корнями

Решение

В поход пошли 20 туристов. Самому старшему из них 35 лет, а самому младшему 20 лет. Верно ли, что среди туристов есть одногодки?

Решение

Алгоритм приближенного вычисления $\sqrt[3]{a}$ . Последовательность {a_n} определяется условиями:

a₀ = a > 0, a_{n + 1} = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{2a_{n}+\frac{a}{a_{n}^2}}\right.$ 2a_n + $\displaystyle {\frac{a}{a_{n}^2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{2a_{n}+\frac{a}{a_{n}^2}}\right)$ (n $\displaystyle \geqslant$ 0).

Докажите, что $\lim\limits_{n\to\infty}^{}$ a_n = $\sqrt[3]{a}$ .

Решение

Автор: Швецов Д.В.

Диагонали вписанного четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$. Прямая, проходящая через точку $P$ и перпендикулярная $PD$, пересекает прямую $AD$ в точке $D_{1}$; аналогично определяется точка $A_{1}$. Докажите, что касательная, проведенная в точке $P$ к описанной окружности треугольника $D_{1}PA_{1}$, параллельна прямой $BC$.

Решение

На клетчатой бумаге нарисован замкнутый путь (по линиям сетки). Доказать, что он имеет чётную длину (сторона клетки имеет длину 1).

Решение

Задача 30932

Задача 77980

Задача 30285

Задача 30288

Задача 30295