ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Назовём компанию k-неразбиваемой, если при любом разбиении её на k групп в одной из групп найдутся два знакомых человека. Дана 3-неразбиваемая компания, в которой нет четырёх попарно знакомых человек. Докажите, что её можно разделить на две компании, одна из которых 2-неразбиваемая, а другая – 1-неразбиваемая.

   Решение

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



Задача 116638  (#10.1)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Задачи с ограничениями ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Карасев Р.

В каждой клетке таблицы, состоящей из 10 столбцов и n строк, записана цифра. Известно, что для каждой строки A и любых двух столбцов найдётся строка, отличающаяся от A ровно в этих двух столбцах. Докажите, что  n ≥ 512.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116639  (#10.2)

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Арифметическая прогрессия ]
[ Предел функции ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

На доске написаны девять приведённых квадратных трёхчленов:  x² + a1x + b1x² + a2x + b2,  ...,  x² + a9x + b9. Известно, что последовательности  a1, a2, ..., a9  и  b1, b2, ..., b9  – арифметические прогрессии. Оказалось, что сумма всех девяти трёхчленов имеет хотя бы один корень. Какое наибольшее количество исходных трёхчленов может не иметь корней?

Прислать комментарий     Решение

Задача 116640  (#10.3)

Темы:   [ Теория графов (прочее) ]
[ Вспомогательная раскраска (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Назовём компанию k-неразбиваемой, если при любом разбиении её на k групп в одной из групп найдутся два знакомых человека. Дана 3-неразбиваемая компания, в которой нет четырёх попарно знакомых человек. Докажите, что её можно разделить на две компании, одна из которых 2-неразбиваемая, а другая – 1-неразбиваемая.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116641  (#10.4)

Темы:   [ Вневписанные окружности ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Радикальная ось ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Шмаров В.

Периметр треугольника ABC равен 4. На лучах AB и AC отмечены точки X и Y так, что  AX = AY = 1.  Отрезки BC и XY пересекаются в точке M. Докажите, что периметр одного из треугольников ABM и ACM равен 2.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116642  (#10.5)

Темы:   [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Даны 10 попарно различных чисел. Для каждой пары данных чисел Вася записал у себя в тетради квадрат их разности, а Петя записал у себя в тетради модуль разности их квадратов. Могли ли в тетрадях у мальчиков получиться одинаковые наборы из 45 чисел?

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .