Каталог по источникам

Выбрано 5 задач

Ортогональной проекцией тетраэдра на плоскость одной из его граней является трапеция площади 1.
а) Может ли ортогональной проекцией этого тетраэдра на плоскость другой его грани быть квадрат площади 1?
б) А квадрат площади ¹/₂₀₁₉?

Решение

В треугольнике ABC точка E — середина стороны BC, точка D лежит на стороне AC, AC = 1, $\angle$ BAC = 60^o, $\angle$ ABC = 100^o, $\angle$ ACB = 20^o и $\angle$ DEC = 80^o (рис.). Чему равна сумма площади треугольника ABC и удвоенной площади треугольника CDE?

Решение

a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что

a²b(a - b) + b²c(b - c) + c²a(c - a) $\displaystyle \geq$ 0.

Решение

Автор: Берлов С.Л.

Можно ли в клетках бесконечного клетчатого листа расставить натуральные числа таким образом, чтобы при любых натуральных m, n > 100 сумма чисел в любом прямоугольнике m×n клеток делилась на m + n?

Решение

Автор: Фольклор

Есть тысяча билетов с номерами 000, 001, ..., 999 и сто ящиков с номерами 00, 01, ..., 99. Билет разрешается опустить в ящик, если номер ящика может быть получен из номера билета вычеркиванием одной из цифр. Можно ли разложить все билеты в 50 ящиков?

Решение

Задача 116538 (#8.4.2)

Задача 116539 (#8.4.3)