Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]

Задача 111809 (#08.4.10.8)

Темы:	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Автор: Скробот Д.

Вписанная в треугольник ABC окружность ω касается сторонAB и AC в точках D и E соответственно. Пусть P – произвольная точка на большей дуге DE окружности ω, F – точка, симметричная точке A относительно прямой DP, M – середина отрезка DE. Докажите, что угол FMP – прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111794 (#08.4.11.1)

Тема:

[

Исследование квадратного трехчлена

]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Авторы: Агаханов Н.Х., Богданов И.И.

Даны два квадратных трёхчлена, имеющих корни. Известно, что если в них поменять местами коэффициенты при x², то получатся трёхчлены, не имеющие корней. Докажите, что если в исходных трёхчленах поменять местами коэффициенты при x, то получатся трёхчлены, имеющие корни.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111795 (#08.4.11.2)

Темы:	[	Подсчет двумя способами	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Агаханов Н.Х., Богданов И.И., Кожевников П.А.

По окружности отметили 40 красных, 30 синих и 20 зеленых точек. На каждой дуге между соседними красной и синей точками поставили цифру 1, на каждой дуге между соседними красной и зеленой – цифру 2, а на каждой дуге между соседними синей и зеленой – цифру 3. (На дугах между одноцветными точками поставили 0.) Найдите максимальную возможную сумму поставленных чисел.

Прислать комментарий Решение

Задача 111805 (#08.4.11.3)

Темы:	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
	[	Ограниченность, монотонность	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Мурашкин М.В.

Последовательность (a_n) задана условиями a₁= 1000000 , a_n+1=n[]+n . Докажите, что в ней можно выделить бесконечную подпоследовательность, являющуюся арифметической прогрессией.

Прислать комментарий Решение

Задача 111797 (#08.4.11.4)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Отрезок, видимый из двух точек под одним углом	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Углы между биссектрисами	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Авторы: Богданов И.И., Макаров И.В.

Вписанная окружность σ треугольника ABC касается его сторон BC , AC , AB в точках A' , B' , C' соответственно. Точки K и L на окружности σ таковы, что AKB'+ BKA'= ALB'+ BLA'=180^o . Докажите, что прямая KL равноудалена от точек A' , B' , C' .

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]